Sejam
e
subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se
e
é LI então
é LI.
2. Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos dois conjuntos,
e
, dentro de um espaço vetorial. A gente precisa mostrar que se
está dentro de
(ou seja, todo elemento de
também está em
) e se
é um conjunto linearmente independente (LI), então
também é linearmente independente. Vamos precisar entender bem o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona quando um conjunto está dentro do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se pegarmos qualquer combinação dos vetores desse conjunto e igualarmos a zero, a única solução para os coeficientes é que todos eles sejam zero.
Matematicamente, se temos vetores
, o conjunto é LI se a equação
só tem a solução
.
Passo 3
Agora, sabendo que
é linearmente independente, isso significa que qualquer combinação linear dos vetores de
que resulte no vetor zero só tem a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Como
, todo vetor em
também está em
. Portanto, se formos fazer uma combinação linear de vetores de
que resulte em zero, essa combinação também é uma combinação de vetores de
.
Passo 4
Como
é LI, a única forma dessa combinação dar zero é se todos os coeficientes forem zero. Mas como
está dentro de
, isso significa que a única combinação linear de vetores de
que dá zero também força todos os coeficientes a serem zero.
Resposta
Portanto,
é um conjunto linearmente independente.
Exercícios relacionados
- Encontre um conjunto de geradores de
.
Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(a)
Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) .
(d)
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(b)