Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se X subseteq Y e Y é LI então X é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos dois conjuntos, e , dentro de um espaço vetorial. A gente precisa mostrar que se está dentro de (ou seja, todo elemento de também está em ) e se é um conjunto linearmente independente (LI), então também é linearmente independente. Vamos precisar entender bem o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona quando um conjunto está dentro do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se pegarmos qualquer combinação dos vetores desse conjunto e igualarmos a zero, a única solução para os coeficientes é que todos eles sejam zero.
Matematicamente, se temos vetores a1 v1 + a2 v2 + dots + an vn = 0 , o conjunto é LI se a equação
só tem a solução .

Passo 3

Agora, sabendo que é linearmente independente, isso significa que qualquer combinação linear dos vetores de que resulte no vetor zero só tem a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Como , todo vetor em também está em . Portanto, se formos fazer uma combinação linear de vetores de que resulte em zero, essa combinação também é uma combinação de vetores de .

Passo 4

Como é LI, a única forma dessa combinação dar zero é se todos os coeficientes forem zero. Mas como está dentro de , isso significa que a única combinação linear de vetores de que dá zero também força todos os coeficientes a serem zero.

Resposta

Portanto, é um conjunto linearmente independente.

Exercícios relacionados

  1. Encontre um conjunto de geradores de R.
    Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (a) (1,1,1)
Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) A X=3 X.
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (b) (4,2,-6)