- Encontre um conjunto de geradores de
.
Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um conjunto de geradores para o espaço
. A dica nos sugere que devemos determinar a forma geral de uma função polinomial par. Isso envolve conceitos de álgebra linear e funções pares. Vamos precisar identificar quais funções polinomiais são pares e como elas podem gerar todo o espaço
.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma função par. Uma função
é chamada de par se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, consideremos funções polinomiais. Um polinômio geral de grau
pode ser escrito como:
onde
são coeficientes reais.
Passo 4
Para que
seja uma função par, deve-se aplicar a condição de paridade:
Substituindo
na expressão do polinômio:
Passo 5
Igualando
a
:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes dos termos de potências ímpares devem ser zero:
Passo 6
Portanto, a forma geral de um polinômio par é:
onde
é um número inteiro não negativo. Ou seja, somente as potências pares de
aparecem no polinômio.
Passo 7
Agora, para encontrar um conjunto de geradores para
, que é o conjunto de todas as funções polinomiais pares, podemos considerar os monômios de potências pares como nossos geradores. Assim, temos:
Cada polinômio par pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(a)
Sejam
subconjuntos de
. Mostre que
e que
é subespaço. Determine
subespaço de
tal que
.
Sejam
e
subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se e
é LI então
é LI.
2. Mostre que se
Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) .
(d)