1. Encontre um conjunto de geradores de R.
    Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um conjunto de geradores para o espaço R. A dica nos sugere que devemos determinar a forma geral de uma função polinomial par. Isso envolve conceitos de álgebra linear e funções pares. Vamos precisar identificar quais funções polinomiais são pares e como elas podem gerar todo o espaço R.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma função par. Uma função f(x) é chamada de par se ela satisfaz a condição:
f(-x) = f(x) para todo x in R
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, consideremos funções polinomiais. Um polinômio geral de grau n pode ser escrito como:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + dots + anx^n,
onde a0, a1, dots, an são coeficientes reais.

Passo 4

Para que P(x) seja uma função par, deve-se aplicar a condição de paridade:
P(-x) = P(x)
Substituindo -x na expressão do polinômio:
a0 + a1(-x) + a2(-x)^2 + dots + an(-x)^n = a0 - a1x + a2x^2 - dots + (-1)^n anx^n

Passo 5

Igualando P(-x) a P(x):
a0 - a1x + a2x^2 - dots + (-1)^n anx^n = a0 + a1x + a2x^2 + dots + anx^n
Para que isso seja verdadeiro para todo x, os coeficientes dos termos de potências ímpares devem ser zero:
a1 = a3 = a5 = dots = 0

Passo 6

Portanto, a forma geral de um polinômio par é:
P(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + dots + a2kx^2k,
onde k é um número inteiro não negativo. Ou seja, somente as potências pares de x aparecem no polinômio.

Passo 7

Agora, para encontrar um conjunto de geradores para R, que é o conjunto de todas as funções polinomiais pares, podemos considerar os monômios de potências pares como nossos geradores. Assim, temos:
1, x^2, x^4, x^6, dots
Cada polinômio par pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.

Resposta

Um conjunto de geradores para R é 1, x^2, x^4, x^6, dots.

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