Sejam
V=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0 U=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0, x2-x3=0, x3+x4=0
subconjuntos de R^4. Mostre que U subseteq V e que U é subespaço. Determine W subespaço de V tal que V=U oplus W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos e que são subconjuntos de , definidos por certas equações. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e somas diretas de subespaços.
Para resolver esse exercício, vamos precisar:
  1. Mostrar que está contido em ( ).
  2. Demonstrar que é um subespaço de .
  3. Encontrar um subespaço de tal que , ou seja, é a soma direta de e .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que x1 - x2 + x3 - x4 = 0 x2 - x3 = 0 x3 + x4 = 0 . Isso significa que todo vetor que está em também está em .
Definições:
Explicação:
Todo vetor em satisfaz as três equações dadas para . Como uma dessas equações é exatamente a definição de , qualquer vetor que está em também satisfaz a equação de .
Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos demonstrar que 0 - 0 + 0 - 0 = 0, 0 - 0 = 0, 0 + 0 = 0 é um subespaço de u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) . Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em (u1 + v1) - (u2 + v2) + (u3 + v3) - (u4 + v4) = (u1 - u2 + u3 - u4) + (v1 - v2 + v3 - v4) = 0 + 0 = 0 .
  2. Se (u2 + v2) - (u3 + v3) = (u2 - u3) + (v2 - v3) = 0 + 0 = 0 e (u3 + v3) + (u4 + v4) = (u3 + u4) + (v3 + v4) = 0 + 0 = 0 estão em cu = (cu1, cu2, cu3, cu4) , então cu1 - cu2 + cu3 - cu4 = c(u1 - u2 + u3 - u4) = c cdot 0 = 0 está em cu2 - cu3 = c(u2 - u3) = c cdot 0 = 0 .
  3. Se cu3 + cu4 = c(u3 + u4) = c cdot 0 = 0 está em e é um número real, então está em .
1. Vetor Zero:
Substituindo nas equações de , vemos que todas são satisfeitas:
Então, o vetor zero está em .
2. Somas de Vetores:
Seja e em . Então:
Verificamos se esse vetor satisfaz as equações de :
Logo, está em .
3. Multiplicação por Escalar:
Para em e real:
Verificamos as equações:
Então, está em .
Como todas as propriedades são satisfeitas, é um subespaço de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um subespaço x1 - x2 + x3 - x4 = 0 x2 - x3 = 0 x3 + x4 = 0 de u = (-x3, x3, x3, -x3) = x3 cdot (-1, 1, 1, -1) tal que x1 - x2 + x3 - x4 = 0 . Isso significa que qualquer vetor em x1 = x2 - x3 + x4 pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de v = (x2 - x3 + x4, x2, x3, x4) e um vetor de v = x2 cdot (1, 1, 0, 0) + x3 cdot (-1, 0, 1, 0) + x4 cdot (1, 0, 0, 1) , e que W = span, (1,1,0,0), (-1,0,1,0) , e se intersectam apenas no vetor zero.
Passos para Encontrar :
  1. Encontrar uma base para e para .
  2. Extender a base de para obter uma base para .
  3. Definir como o conjunto formado pelos vetores adicionados para completar a base de .
1. Base para :
As equações de são:
Podemos resolver esse sistema para expressar alguns em termos de outros:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na primeira:
Então, todo vetor em pode ser escrito em função de :
Base para :
2. Base para :
As equações de são:
Podemos expressar em termos dos outros:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Podemos parametrizar isso com como variáveis livres:
Base para :
3. Encontrar :
Já temos uma base para : . Queremos encontrar vetores em que não estão em e que, juntos com a base de , formem uma base para .
Observando a base de , verificamos que os vetores e não estão em , pois não satisfazem as equações adicionais de .
Portanto, podemos escolher como sendo o subespaço gerado por esses dois vetores:

Passo 5

Verificando que :
  1. Soma Direta:
    • Toda vetor em pode ser escrito como uma soma de um vetor em e um vetor em . Isso porque a base de é composta pela base de mais a base de .
  2. Interseção:
    • A única solução para com e é . Ou seja, .
Portanto, é a soma direta de e , ou seja, .

Resposta

é o subespaço de gerado pelos vetores e , de modo que .

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
  1. Se v1+3 v2-v3=0 e 2 v1-v2-v3=0 então [v1, v2, v3]=[v3].
Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V. Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos A, B são iguais o truque é mostrar que A subseteq B e que B subseteq A.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (a) (1,1,1)
  1. Encontre um conjunto de geradores de R.
    Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.