subconjuntos de . Mostre que e que é subespaço. Determine subespaço de tal que .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos e que são subconjuntos de , definidos por certas equações. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e somas diretas de subespaços.
Para resolver esse exercício, vamos precisar:
Mostrar que está contido em ().
Demonstrar que é um subespaço de .
Encontrar um subespaço de tal que , ou seja, é a soma direta de e .
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que . Isso significa que todo vetor que está em também está em .
Definições:
Explicação:
Todo vetor em satisfaz as três equações dadas para . Como uma dessas equações é exatamente a definição de , qualquer vetor que está em também satisfaz a equação de .
Portanto, .
Passo 3
Agora, vamos demonstrar que 0 - 0 + 0 - 0 = 0, 0 - 0 = 0, 0 + 0 = 0 é um subespaço de u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) . Para isso, precisamos verificar três propriedades:
O vetor zero está em (u1 + v1) - (u2 + v2) + (u3 + v3) - (u4 + v4) = (u1 - u2 + u3 - u4) + (v1 - v2 + v3 - v4) = 0 + 0 = 0 .
Se (u2 + v2) - (u3 + v3) = (u2 - u3) + (v2 - v3) = 0 + 0 = 0 e (u3 + v3) + (u4 + v4) = (u3 + u4) + (v3 + v4) = 0 + 0 = 0 estão em cu = (cu1, cu2, cu3, cu4) , então cu1 - cu2 + cu3 - cu4 = c(u1 - u2 + u3 - u4) = c cdot 0 = 0 está em cu2 - cu3 = c(u2 - u3) = c cdot 0 = 0 .
Se cu3 + cu4 = c(u3 + u4) = c cdot 0 = 0 está em e é um número real, então está em .
1. Vetor Zero:
Substituindo nas equações de , vemos que todas são satisfeitas:
Então, o vetor zero está em .
2. Somas de Vetores:
Seja e em . Então:
Verificamos se esse vetor satisfaz as equações de :
Logo, está em .
3. Multiplicação por Escalar:
Para em e real:
Verificamos as equações:
Então, está em .
Como todas as propriedades são satisfeitas, é um subespaço de .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um subespaço x1 - x2 + x3 - x4 = 0 x2 - x3 = 0 x3 + x4 = 0 de u = (-x3, x3, x3, -x3) = x3 cdot (-1, 1, 1, -1) tal que x1 - x2 + x3 - x4 = 0 . Isso significa que qualquer vetor em x1 = x2 - x3 + x4 pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de v = (x2 - x3 + x4, x2, x3, x4) e um vetor de v = x2 cdot (1, 1, 0, 0) + x3 cdot (-1, 0, 1, 0) + x4 cdot (1, 0, 0, 1) , e que W = span, (1,1,0,0), (-1,0,1,0) , e se intersectam apenas no vetor zero.
Passos para Encontrar :
Encontrar uma base para e para .
Extender a base de para obter uma base para .
Definir como o conjunto formado pelos vetores adicionados para completar a base de .
1. Base para :
As equações de são:
Podemos resolver esse sistema para expressar alguns em termos de outros:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então, todo vetor em pode ser escrito em função de :
Base para :
2. Base para :
As equações de são:
Podemos expressar em termos dos outros:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Podemos parametrizar isso com como variáveis livres:
Base para :
3. Encontrar :
Já temos uma base para : . Queremos encontrar vetores em que não estão em e que, juntos com a base de , formem uma base para .
Observando a base de , verificamos que os vetores e não estão em , pois não satisfazem as equações adicionais de .
Portanto, podemos escolher como sendo o subespaço gerado por esses dois vetores:
Passo 5
Verificando que :
Soma Direta:
Toda vetor em pode ser escrito como uma soma de um vetor em e um vetor em . Isso porque a base de é composta pela base de mais a base de .
Interseção:
A única solução para com e é . Ou seja, .
Portanto, é a soma direta de e , ou seja, .
Resposta
é o subespaço de gerado pelos vetores e , de modo que .