Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
  1. Se v1+3 v2-v3=0 e 2 v1-v2-v3=0 então [v1, v2, v3]=[v3].

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema que envolve três vetores e e duas equações que relacionam eles. Esse lance é de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços gerados por vetores. Vamos precisar resolver essas equações pra entender como os vetores se relacionam e determinar se o espaço gerado por é realmente igual ao espaço gerado só por .

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações que a gente tem:
v1 + 3 v2 - v3 = 0 2 v1 - v2 - v3 = 0
Nossa missão é descobrir se, com essas relações, o espaço formado por é igual ao espaço formado apenas por .

Passo 3

Vamos começar isolando um dos vetores. Da primeira equação:
v1 = -3 v2 + v3
Agora, vamos substituir essa expressão de 2(-3 v2 + v3) - v2 - v3 = 0 na segunda equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação que apareceu:
-6 v2 + 2 v3 - v2 - v3 = 0
-7 v2 + v3 = 0
Daí, isolando v3 = 7 v2 :

Passo 5

Agora que sabemos que v1 = -3 v2 + v3 = -3 v2 + 7 v2 = 4 v2 , vamos voltar à expressão para :

Passo 6

Então, resumindo, temos:
v1 = 4 v2
v3 = 7 v2
Isso mostra que tanto quanto são múltiplos de .

Passo 7

Se todos os vetores são múltiplos de [v1, v2, v3] = [v2] , significa que o espaço gerado por é o mesmo que o espaço gerado apenas por . Ou seja:

Passo 8

A afirmação que queríamos verificar era se [v1, v2, v3] = [v2] neq [v3] . Pelo que vimos, na verdade:

Resposta

Falsa. O espaço gerado por é igual a , não .

Exercícios relacionados

Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V. Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos A, B são iguais o truque é mostrar que A subseteq B e que B subseteq A.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o
Sejam X um conjunto e V um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em F(X, V).
Sejam
V=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0 U=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0, x2-x3=0, x3+x4=0
subconjuntos de R^4. Mostre que U subseteq V e que U é subespaço. Determine W subespaço de V tal que V=U oplus W.
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (a) (1,1,1)