Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
- Se
e
então
.
Passo 1
Beleza, a gente tem um problema que envolve três vetores
e
e duas equações que relacionam eles. Esse lance é de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços gerados por vetores. Vamos precisar resolver essas equações pra entender como os vetores se relacionam e determinar se o espaço gerado por
é realmente igual ao espaço gerado só por
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as equações que a gente tem:
Nossa missão é descobrir se, com essas relações, o espaço formado por
é igual ao espaço formado apenas por
.
Passo 3
Vamos começar isolando um dos vetores. Da primeira equação:
Agora, vamos substituir essa expressão de
na segunda equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação que apareceu:
Daí, isolando
:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos voltar à expressão para
:
Passo 6
Então, resumindo, temos:
Isso mostra que tanto
quanto
são múltiplos de
.
Passo 7
Se todos os vetores são múltiplos de
, significa que o espaço gerado por
é o mesmo que o espaço gerado apenas por
. Ou seja:
Passo 8
A afirmação que queríamos verificar era se
. Pelo que vimos, na verdade:
Resposta
Falsa. O espaço gerado por
é igual a
, não
.
Exercícios relacionados
Sejam
um espaço vetorial e
um subconjunto de
. Mostre que o subespaço de
gerado por
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contém
como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos são iguais o truque é mostrar que
e que
.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por o
Dica: para mostrar que dois subconjuntos
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por
Sejam
um conjunto e
um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em .
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em
Sejam
subconjuntos de
. Mostre que
e que
é subespaço. Determine
subespaço de
tal que
.
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(a)