Sejam o espaço vetorial das matrizes reais triangulares superiores e as bases e . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial formado por matrizes triangulares superiores com entradas reais. A questão nos dá duas bases diferentes para esse espaço: e . Nosso objetivo é encontrar a matriz de transformação , que representa a identidade nesse espaço, mas mudando de uma base para a outra.
Para resolver isso, precisamos entender como cada vetor da base pode ser expressado como uma combinação linear dos vetores da base . Isso vai nos ajudar a montar a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos listar as bases:
A base é formada por:
A base é formada por:
Passo 3
Agora, vamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Primeiro vetor da :
Então, os coeficientes são .
Segundo vetor da :
Simplificando, os coeficientes são .
Terceiro vetor da :
Então, os coeficientes são .
Passo 4
Agora que temos os coeficientes para cada vetor da base em termos da base , vamos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de um vetor da base .