Sejam V o espaço vetorial das matrizes reais 2 times 2 triangulares superiores e as bases alpha=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] e beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 1]. Determine [I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial formado por matrizes triangulares superiores com entradas reais. A questão nos dá duas bases diferentes para esse espaço: e . Nosso objetivo é encontrar a matriz de transformação , que representa a identidade nesse espaço, mas mudando de uma base para a outra.
Para resolver isso, precisamos entender como cada vetor da base pode ser expressado como uma combinação linear dos vetores da base . Isso vai nos ajudar a montar a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos listar as bases:
A base alpha = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é formada por:
beta = 1 & 0 0 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 1 & 1 0 & 1
A base é formada por:

Passo 3

Agora, vamos expressar cada vetor da base 1 & 0 0 & 0 = 1 cdot 1 & 0 0 & 0 + 0 cdot 1 & 1 0 & 0 + 0 cdot 1 & 1 0 & 1 como uma combinação linear dos vetores da base 0 & 1 0 & 0 = -1 cdot 1 & 0 0 & 0 + 1 cdot 1 & 1 0 & 0 + 0 cdot 1 & 1 0 & 1 .
  1. Primeiro vetor da 0 & 0 0 & 1 = -1 cdot 1 & 0 0 & 0 -1 cdot 1 & 1 0 & 0 + 1 cdot 1 & 1 0 & 1 :
Então, os coeficientes são .
  1. Segundo vetor da :
Simplificando, os coeficientes são .
  1. Terceiro vetor da :
Então, os coeficientes são .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes para cada vetor da base [I]alpha^beta = 1 & -1 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 em termos da base , vamos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de um vetor da base .

Resposta

A matriz de transformação [I]alpha^beta = 1 & -1 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 é:

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