Sejam o espaço vetorial das matrizes reais triangulares superiores e as bases e . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial formado por matrizes triangulares superiores com entradas reais. A questão nos dá duas bases diferentes para esse espaço: e . Nosso objetivo é encontrar a matriz de transformação , que representa a identidade nesse espaço, mas mudando de uma base para a outra.
Para resolver isso, precisamos entender como cada vetor da base pode ser expressado como uma combinação linear dos vetores da base . Isso vai nos ajudar a montar a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos listar as bases:
A base é formada por:
A base é formada por:

Passo 3

Agora, vamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
  1. Primeiro vetor da :
Então, os coeficientes são .
  1. Segundo vetor da :
Simplificando, os coeficientes são .
  1. Terceiro vetor da :
Então, os coeficientes são .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes para cada vetor da base em termos da base , vamos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de um vetor da base .

Resposta

A matriz de transformação é:

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de :
© Todos os vetores da forma , com .
Considere os vetores , e em . Seja o plano dado por .
© Determine a soma direta e mostre que é um subespaço de .
Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de .
Verificar se a seguinte matriz é invertivel e, caso for, calcular a inversa.