Considere os vetores v1=(1,0,0,1,2), v2=(0,1,0,2,1), e v3=(0,0,1,0,0) em R^5. Seja P o plano dado por P=(x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 mid x4+x5=3 x1.
(a) Determine o subespaço gerado por v1, v2, e v3, denotado por span(v1, v2, v3), e verifique que ele é um subespaço de R^5.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A tarefa é encontrar o espaço gerado pelos vetores v1, v2 e v3, que é chamado de span desses vetores, e depois mostrar que esse span é realmente um subespaço de R^5. Para isso, vamos precisar entender o que significa span e subespaço, além de como combinar vetores e verificar as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o span de um conjunto de vetores. O span de v1, v2, v3 é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor que a gente conseguir formar multiplicando cada vetor por um escalar e somando os resultados está no span.
Matematicamente, isso fica assim:
span(v1, v2, v3) = av1 + bv2 + cv3 mid a, b, c in R

Passo 3

Agora, vamos escrever explicitamente o que são esses vetores:
v1 = (1, 0, 0, 1, 2) v2 = (0, 1, 0, 2, 1) v3 = (0, 0, 1, 0, 0)
Então, uma combinação linear deles seria:
av1 + bv2 + cv3 = a(1, 0, 0, 1, 2) + b(0, 1, 0, 2, 1) + c(0, 0, 1, 0, 0) = (a, 0, 0, a, 2a) + (0, b, 0, 2b, b) + (0, 0, c, 0, 0) = (a, b, c, a + 2b, 2a + b)
Então, o span desses vetores é todos os vetores da forma (a, b, c, a + 2b, 2a + b) onde a, b, c são números reais.

Passo 4

Agora, precisamos verificar que esse conjunto é um subespaço de R^5. Para ser um subespaço, três propriedades devem ser satisfeitas:
  1. Contém o vetor zero: Deve haver uma combinação linear onde a = b = c = 0, resultando no vetor (0, 0, 0, 0, 0).
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no span, sua soma também deve estar no span.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no span, qualquer múltiplo dele também está no span.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 5

  1. Contém o vetor zero:
    Se colocarmos a = b = c = 0 na expressão (a, b, c, a + 2b, 2a + b), obtemos (0, 0, 0, 0, 0). Então, o vetor zero está no span.
  2. Fechado sob adição:
    Se temos dois vetores no span, digamos (a1, b1, c1, a1 + 2b1, 2a1 + b1) e (a2, b2, c2, a2 + 2b2, 2a2 + b2), sua soma será:
    (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2, (a1 + a2) + 2(b1 + b2), 2(a1 + a2) + (b1 + b2))
    Isso pode ser reescrito como:
    (a', b', c', a' + 2b', 2a' + b') onde a' = a1 + a2, , b' = b1 + b2, , c' = c1 + c2
    Portanto, a soma também está no span.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    Se temos um vetor no span, (a, b, c, a + 2b, 2a + b), e multiplicamos por um escalar k, obtemos:
    (ka, kb, kc, k(a + 2b), k(2a + b)) = (ka, kb, kc, ka + 2kb, 2ka + kb)
    Isso é equivalente a uma combinação linear com a' = ka, b' = kb, c' = kc, então o vetor resultante também está no span.

Passo 6

Como verificamos que o span contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que span(v1, v2, v3) é realmente um subespaço de R^5.

Resposta

O subespaço gerado por v1, v2 e v3 é dado por todos os vetores da forma (a, b, c, a + 2b, 2a + b) com a, b, c in R. Além disso, esse conjunto é um subespaço de R^5.

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