Considere os vetores
, e
em
. Seja
o plano dado por
.
(a) Determine o subespaço gerado por
, e
, denotado por
, e verifique que ele é um subespaço de
.
(a) Determine o subespaço gerado por
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A tarefa é encontrar o espaço gerado pelos vetores
,
e
, que é chamado de span desses vetores, e depois mostrar que esse span é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que significa span e subespaço, além de como combinar vetores e verificar as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o span de um conjunto de vetores. O span de
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor que a gente conseguir formar multiplicando cada vetor por um escalar e somando os resultados está no span.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos escrever explicitamente o que são esses vetores:
Então, uma combinação linear deles seria:
Então, o span desses vetores é todos os vetores da forma
onde
,
,
são números reais.
Passo 4
Agora, precisamos verificar que esse conjunto é um subespaço de
. Para ser um subespaço, três propriedades devem ser satisfeitas:
- Contém o vetor zero: Deve haver uma combinação linear onde
, resultando no vetor . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão no span, sua soma também deve estar no span.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no span, qualquer múltiplo dele também está no span.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 5
-
Contém o vetor zero:Se colocarmos
na expressão , obtemos . Então, o vetor zero está no span. -
Fechado sob adição:Se temos dois vetores no span, digamos
e , sua soma será: Isso pode ser reescrito como:Portanto, a soma também está no span. -
Fechado sob multiplicação por escalar:Se temos um vetor no span,
, e multiplicamos por um escalar , obtemos: Isso é equivalente a uma combinação linear com, , , então o vetor resultante também está no span.
Passo 6
Como verificamos que o span contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço de
.
Resposta
O subespaço gerado por
,
e
é dado por todos os vetores da forma
com
,
,
. Além disso, esse conjunto é um subespaço de
.