Seja
definida por
Mostre que
um homomorfismo, mas não é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função
, definida por
é um homomorfismo, mas não é um isomorfismo. Aqui, estamos lidando com álgebra linear e teoria de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos e isomorfismos entre grupos ou estruturas algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um homomorfismo. Isso significa que
preserva a operação do grupo, que nesse caso é a adição. Em outras palavras, precisamos verificar se
para quaisquer
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Como vemos,
, então
preserva a operação de adição.
Passo 4
Como
preserva a operação de adição, então
é um homomorfismo de grupos. Isso comprova a primeira parte do que precisamos mostrar.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é um isomorfismo. Para isso,
precisa ser um homomorfismo bijetivo, ou seja, ser injetora (sem elementos diferentes mapeando para o mesmo lugar) e sobrejetora (toda matriz em
é imagem de algum inteiro).
Passo 6
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Suponha que
:
Isso implica que
. Portanto,
é injetora.
Passo 7
Agora, vamos ver se
é sobrejetora. Ou seja, será que toda matriz
em
pode ser escrita como
para algum
?
Passo 8
Observando a definição de
, vemos que apenas matrizes diagonais com elementos iguais nas posições
e
são imagens de
. Matrizes com elementos diferentes ou com elementos fora da diagonal não podem ser obtidas por
. Portanto,
não é sobrejetora.
Passo 9
Como
não é sobrejetora, ela não é bijetora. Logo,
não é um isomorfismo.
Resposta
Concluímos que
é um homomorfismo, pois preserva a operação de adição, mas não é um isomorfismo, já que não é sobrejetora.