Seja f: Z longrightarrow M2(Z) definida por
f(x)=[ll x & 0 0 & x ], forall x in Z
Mostre que f um homomorfismo, mas não é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função f(x) = x & 0 0 & x , , definida por
é um homomorfismo, mas não é um isomorfismo. Aqui, estamos lidando com álgebra linear e teoria de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos e isomorfismos entre grupos ou estruturas algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que f(a + b) = f(a) + f(b), é um homomorfismo. Isso significa que preserva a operação do grupo, que nesse caso é a adição. Em outras palavras, precisamos verificar se
para quaisquer .

Passo 3

Vamos calcular f(a + b) = a + b & 0 0 & a + b :
f(a) + f(b) = a & 0 0 & a + b & 0 0 & b = a + b & 0 0 & a + b
Agora, vamos calcular :
Como vemos, , então preserva a operação de adição.

Passo 4

Como preserva a operação de adição, então é um homomorfismo de grupos. Isso comprova a primeira parte do que precisamos mostrar.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é um isomorfismo. Para isso, precisa ser um homomorfismo bijetivo, ou seja, ser injetora (sem elementos diferentes mapeando para o mesmo lugar) e sobrejetora (toda matriz em é imagem de algum inteiro).

Passo 6

Primeiro, vamos ver se a & 0 0 & a = b & 0 0 & b é injetora. Suponha que :
Isso implica que . Portanto, é injetora.

Passo 7

Agora, vamos ver se c & d e & f é sobrejetora. Ou seja, será que toda matriz em pode ser escrita como para algum ?

Passo 8

Observando a definição de , vemos que apenas matrizes diagonais com elementos iguais nas posições e são imagens de . Matrizes com elementos diferentes ou com elementos fora da diagonal não podem ser obtidas por . Portanto, não é sobrejetora.

Passo 9

Como não é sobrejetora, ela não é bijetora. Logo, não é um isomorfismo.

Resposta

Concluímos que é um homomorfismo, pois preserva a operação de adição, mas não é um isomorfismo, já que não é sobrejetora.

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