Mostre que . Para isso, mostre que tal que é um homomorfismo sobrejetor. Além disso, mostre que .
Passo 1
Vamos mostrar que o grupo quociente é isomorfo a . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra, como homomorfismos de grupos, imagens sobrejetoras e núcleos de homomorfismos.
Passo 2
Primeiro, definimos a função por , onde representa a classe de equivalência de módulo . Precisamos mostrar que é um homomorfismo.
Passo 3
Para provar que é um homomorfismo, verificamos se a função preserva a operação de adição:
Como a igualdade é válida para quaisquer x, y in Z, f é um homomorfismo.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que f é sobrejetor, ou seja, que para cada elemento em Zn existe um inteiro x in Z tal que f(x) é esse elemento. De fato, para qualquer bara in Zn, basta escolher x = a, então f(a) = bara.
Passo 5
Em seguida, determinamos o núcleo de f, N(f), que consiste em todos os inteiros x tais que f(x) = bar0. Isso significa:
f(x) = barx = bar0 Rightarrow x equiv 0 mod n Rightarrow x in nZ
Portanto, N(f) = nZ.
Passo 6
Pela Teoria do Primeiro Isomorfismo, sabemos que se f: G H é um homomorfismo sobrejetor, então:
G / N(f) cong H
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Z / nZ cong Zn
Resposta
Portanto, demonstramos que Z / n Z é isomorfo a Zn.