Mostre que Z / n Z cong Zn. Para isso, mostre que f: Z n Z tal que f(x)=barx é um homomorfismo sobrejetor. Além disso, mostre que N(f)=n Z.

Passo 1

Vamos mostrar que o grupo quociente Z / n Z é isomorfo a Zn. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra, como homomorfismos de grupos, imagens sobrejetoras e núcleos de homomorfismos.

Passo 2

Primeiro, definimos a função f: Z Zn por f(x) = barx, onde barx representa a classe de equivalência de x módulo n. Precisamos mostrar que f é um homomorfismo.

Passo 3

Para provar que f é um homomorfismo, verificamos se a função preserva a operação de adição:
f(x + y) = x + y = barx + bary = f(x) + f(y)
Como a igualdade é válida para quaisquer x, y in Z, f é um homomorfismo.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que f é sobrejetor, ou seja, que para cada elemento em Zn existe um inteiro x in Z tal que f(x) é esse elemento. De fato, para qualquer bara in Zn, basta escolher x = a, então f(a) = bara.

Passo 5

Em seguida, determinamos o núcleo de f, N(f), que consiste em todos os inteiros x tais que f(x) = bar0. Isso significa:
f(x) = barx = bar0 Rightarrow x equiv 0 mod n Rightarrow x in nZ
Portanto, N(f) = nZ.

Passo 6

Pela Teoria do Primeiro Isomorfismo, sabemos que se f: G H é um homomorfismo sobrejetor, então:
G / N(f) cong H
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Z / nZ cong Zn

Resposta

Portanto, demonstramos que Z / n Z é isomorfo a Zn.

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