Quais dos seguintes são subespaços de C[0,1] (espaço das funções contínuas no intervalo [0,1] ):
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente está trabalhando com o espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo . A questão é saber se o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço desse espaço . Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço e quais condições ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço em álgebra linear. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, a função zero está em .
  2. Fechado quanto à adição: se pegarmos duas funções em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado quanto à multiplicação por escalar: se pegarmos uma função em e a multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto das funções deriváveis com derivada zero.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero é aquela que, para todo f'(x) = 0 em , temos . Vamos verificar se essa função pertence ao nosso conjunto.
Calculando a derivada da função zero:
Então, a derivada é zero. Portanto, a função zero está no conjunto. Primeira condição satisfeita.

Passo 4

2. Fechado quanto à adição:
Agora, pegamos duas funções f'(x) = 0 e g'(x) = 0 e (h)(x) = f(x) + g(x) que estão no nosso conjunto, ou seja, deriváveis e com derivadas iguais a zero:
h'(x) = f'(x) + g'(x) = 0 + 0 = 0
Vamos somar essas duas funções:
E calcular a derivada de :
A derivada de também é zero, então está no conjunto. Segunda condição satisfeita.

Passo 5

3. Fechado quanto à multiplicação por escalar:
Agora, pegamos uma função f'(x) = 0 no conjunto e um escalar (k)(x) = c cdot f(x) :
k'(x) = c cdot f'(x) = c cdot 0 = 0
Multiplicamos por :
Calculamos a derivada de :
A derivada de também é zero, então está no conjunto. Terceira condição satisfeita.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço de .

Exercícios relacionados