Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente está trabalhando com o espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo . A questão é saber se o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço desse espaço . Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço e quais condições ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço em álgebra linear. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, a função zero está em .
  2. Fechado quanto à adição: se pegarmos duas funções em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado quanto à multiplicação por escalar: se pegarmos uma função em e a multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto das funções deriváveis com derivada zero.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero é aquela que, para todo em , temos . Vamos verificar se essa função pertence ao nosso conjunto.
Calculando a derivada da função zero:
Então, a derivada é zero. Portanto, a função zero está no conjunto. Primeira condição satisfeita.

Passo 4

2. Fechado quanto à adição:
Agora, pegamos duas funções e que estão no nosso conjunto, ou seja, deriváveis e com derivadas iguais a zero:
Vamos somar essas duas funções:
E calcular a derivada de :
A derivada de também é zero, então está no conjunto. Segunda condição satisfeita.

Passo 5

3. Fechado quanto à multiplicação por escalar:
Agora, pegamos uma função no conjunto e um escalar :
Multiplicamos por :
Calculamos a derivada de :
A derivada de também é zero, então está no conjunto. Terceira condição satisfeita.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço de .

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e
Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.
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