Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A gente está trabalhando com o espaço
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
. A questão é saber se o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço desse espaço
. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço e quais condições ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço em álgebra linear. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: ou seja, a função zero está em
. - Fechado quanto à adição: se pegarmos duas funções em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado quanto à multiplicação por escalar: se pegarmos uma função em
e a multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto das funções deriváveis com derivada zero.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A função zero é aquela que, para todo
em
, temos
. Vamos verificar se essa função pertence ao nosso conjunto.
Calculando a derivada da função zero:
Então, a derivada é zero. Portanto, a função zero está no conjunto. Primeira condição satisfeita.
Passo 4
2. Fechado quanto à adição:
Agora, pegamos duas funções
e
que estão no nosso conjunto, ou seja, deriváveis e com derivadas iguais a zero:
Vamos somar essas duas funções:
E calcular a derivada de
:
A derivada de
também é zero, então
está no conjunto. Segunda condição satisfeita.
Passo 5
3. Fechado quanto à multiplicação por escalar:
Agora, pegamos uma função
no conjunto e um escalar
:
Multiplicamos
por
:
Calculamos a derivada de
:
A derivada de
também é zero, então
está no conjunto. Terceira condição satisfeita.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções deriváveis cuja derivada é zero é um subespaço de
.
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Verifique se
é ideal do anel comutativo
quando:
e
Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.