As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto com coordenadas cartesianas
. O objetivo aqui é transformar essas coordenadas para o sistema polar. Para fazer isso, vamos precisar entender as fórmulas que ligam os sistemas cartesiano e polar. Basicamente, a gente vai calcular a distância do ponto até a origem, que é o
, e o ângulo
que o ponto forma com o eixo positivo x.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. No sistema polar,
representa a distância do ponto até a origem e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. A fórmula é:
Onde
e
são as coordenadas cartesianas do ponto.
Passo 3
Vamos substituir os valores de
e
na fórmula:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo
. Para isso, usamos a função tangente, que relaciona o ângulo
com as coordenadas
e
:
Então,
Passo 5
Sabemos que
corresponde a um ângulo especial no triângulo 30-60-90. Portanto,
Passo 6
Agora, vamos revisar o que temos até aqui para a primeira parte da questão:
i) Coordenadas polares com
e
:
Passo 7
Para a segunda parte, ii), onde
, precisamos ajustar o ângulo
. Quando
é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo original. Para ajustar, adicionamos
ao ângulo encontrado anteriormente:
E
será negativo, então:
Resposta
i) Coordenadas polares com
e
:
ii) Coordenadas polares com
e
: