As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. (3 raiz3, 3). i) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r>0 e 0 <= theta <= 2 pi. ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto com coordenadas cartesianas (3 raiz3, 3). O objetivo aqui é transformar essas coordenadas para o sistema polar. Para fazer isso, vamos precisar entender as fórmulas que ligam os sistemas cartesiano e polar. Basicamente, a gente vai calcular a distância do ponto até a origem, que é o r, e o ângulo theta que o ponto forma com o eixo positivo x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de r. No sistema polar, r representa a distância do ponto até a origem e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. A fórmula é:
r = raizx^2 + y^2
Onde x e y são as coordenadas cartesianas do ponto.

Passo 3

Vamos substituir os valores de x e y na fórmula:
r = raiz(3 raiz3)^2 + (3)^2 = raiz27 + 9 = raiz36 = 6
Então, r = 6.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Para isso, usamos a função tangente, que relaciona o ângulo theta com as coordenadas y e x:
tan(theta) = yx
Então,
theta = tan^-1(33 raiz3) = tan^-1(1raiz3)

Passo 5

Sabemos que tan^-1(1raiz3) corresponde a um ângulo especial no triângulo 30-60-90. Portanto,
theta = pi6 radianos

Passo 6

Agora, vamos revisar o que temos até aqui para a primeira parte da questão:
i) Coordenadas polares com r > 0 e 0 <= theta <= 2pi:
r = 6
theta = pi6

Passo 7

Para a segunda parte, ii), onde r < 0, precisamos ajustar o ângulo theta. Quando r é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo original. Para ajustar, adicionamos pi ao ângulo encontrado anteriormente:
theta = pi6 + pi = 7pi6
E r será negativo, então:
r = -6

Resposta

i) Coordenadas polares com r > 0 e 0 <= theta <= 2pi:
r = 6, theta = pi6
ii) Coordenadas polares com r < 0 e 0 <= theta <= 2pi:
r = -6, theta = 7pi6

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