Considere os vetores
, e
em
. Seja
o plano dado por
.
(b) Encontre a interseção
e mostre que é um subespaço de
.
(b) Encontre a interseção
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço de cinco dimensões,
, e um plano
definido por uma equação linear. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a interseção entre o plano
e o espaço gerado pelos vetores
e
. Além disso, vamos mostrar que essa interseção é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, sistema de equações e propriedades de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção
. Isso quer dizer que queremos encontrar todos os vetores que estão tanto no plano
quanto no espaço gerado pelas combinações lineares de
e
. Ou seja, buscamos vetores que podem ser escritos como
e que também satisfazem a equação do plano
.
Passo 3
Vamos expressar um vetor genérico no span de
e
. Seja
, onde
e
são escalares reais. Calculando, temos:
Então,
onde:
Passo 4
Agora, para que
esteja também no plano
, ela deve satisfazer a equação
. Vamos substituir os valores de
,
e
que encontramos:
Simplificando:
Isso simplifica para:
Passo 5
Com
, podemos encontrar
. Voltando às expressões de
e
:
E os outros componentes:
Então, os vetores na interseção são da forma
, onde
é um número real.
Passo 6
Podemos escrever isso de forma mais elegante usando
como parâmetro:
Isso mostra que a interseção
é exatamente o conjunto de todas as combinações escalares de
.
Passo 7
Para mostrar que esse conjunto é um subespaço de
, precisamos verificar três coisas:
- Contém o vetor zero: Se
, então , que está no conjunto. - É fechado sob adição: Se
e , então , que também está no conjunto. - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então , que está no conjunto.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, concluímos que a interseção é realmente um subespaço de
.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores do tipo
, onde
é um número real. Além disso, esse conjunto é um subespaço de
.