Considere os vetores v1=(1,0,0,1,2), v2=(0,1,0,2,1), e v3=(0,0,1,0,0) em R^5. Seja P o plano dado por P=(x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 mid x4+x5=3 x1.
(b) Encontre a interseção P cap span(v1, v2) e mostre que é um subespaço de R^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço de cinco dimensões, , e um plano definido por uma equação linear. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a interseção entre o plano e o espaço gerado pelos vetores e . Além disso, vamos mostrar que essa interseção é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, sistema de equações e propriedades de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção . Isso quer dizer que queremos encontrar todos os vetores que estão tanto no plano quanto no espaço gerado pelas combinações lineares de e . Ou seja, buscamos vetores que podem ser escritos como e que também satisfazem a equação do plano .

Passo 3

Vamos expressar um vetor genérico no span de u = a(1,0,0,1,2) + b(0,1,0,2,1) = (a, b, 0, a + 2b, 2a + b) e x1 = a x2 = b x3 = 0 x4 = a + 2b x5 = 2a + b . Seja , onde e são escalares reais. Calculando, temos:
Então, onde:

Passo 4

Agora, para que (a + 2b) + (2a + b) = 3a esteja também no plano 3a + 3b = 3a , ela deve satisfazer a equação 3b = 0 implies b = 0 . Vamos substituir os valores de , e que encontramos:
Simplificando:
Isso simplifica para:

Passo 5

Com x1 = a x2 = 0 , podemos encontrar x3 = 0 x4 = a + 0 = a x5 = 2a + 0 = 2a . Voltando às expressões de e :
E os outros componentes:
Então, os vetores na interseção são da forma , onde é um número real.

Passo 6

Podemos escrever isso de forma mais elegante usando u = a(1, 0, 0, 1, 2) como parâmetro:
Isso mostra que a interseção é exatamente o conjunto de todas as combinações escalares de .

Passo 7

Para mostrar que esse conjunto é um subespaço de , precisamos verificar três coisas:
  1. Contém o vetor zero: Se , então , que está no conjunto.
  2. É fechado sob adição: Se e , então , que também está no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então , que está no conjunto.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, concluímos que a interseção é realmente um subespaço de .

Resposta

A interseção é o conjunto de todos os vetores do tipo , onde é um número real. Além disso, esse conjunto é um subespaço de .

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