Seja A=a+b raiz2 mid a, b in Q. Mostre que se f: A longrightarrow A é um isomorfismo de anćis, então f(raiz2)=raiz2 ou f(raiz2)=-raiz2

Passo 1

Então, temos o conjunto . O exercício pede para mostrar que, se é um isomorfismo de anéis, então ou . Vamos precisar entender o que é um isomorfismo de anéis e como ele age sobre os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de anéis. Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetiva (ou seja, tem inversa) e preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que para quaisquer f(x + y) = f(x) + f(y) :
f(x cdot y) = f(x) cdot f(y)
Além disso, deve mapear o elemento neutro da adição e multiplicação de para si mesmo.

Passo 3

Como é definido como , qualquer elemento de pode ser escrito como com . Para descobrir como age sobre , vamos considerar o que acontece quando aplicamos a .

Passo 4

Sabemos que f(raiz2) = c + draiz2 deve preservar a estrutura de . Então, aplicando a , temos:
onde . Nosso objetivo é determinar os valores possíveis de e .

Passo 5

Vamos usar o fato de que f((raiz2)^2) = f(2) = 2 satisfaz a equação f((raiz2)^2) = f(raiz2)^2 = (c + draiz2)^2 = c^2 + 2cdraiz2 + 2d^2 . Aplicando c^2 + 2d^2 + 2cdraiz2 = 2 em ambos os lados, temos:
Por outro lado, usando a propriedade do isomorfismo:
Assim, temos:
Para que essa igualdade seja válida em , os coeficientes de e devem ser iguais dos dois lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes, temos:
c^2 + 2d^2 = 2 e 2cd = 0
Da segunda equação, , vemos que ou ou .

Passo 7

Se 0 + 2d^2 = 2 implies d^2 = 1 implies d = pm 1 , então da primeira equação:
c^2 = 2
Então, .
Se , da primeira equação:
Mas não existe tal que , porque é irracional. Portanto, essa possibilidade não é válida.

Resposta

Portanto, ou .

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