Seja
. Mostre que se
é um isomorfismo de anćis, então
ou
Passo 1
Então, temos o conjunto
. O exercício pede para mostrar que, se
é um isomorfismo de anéis, então
ou
. Vamos precisar entender o que é um isomorfismo de anéis e como ele age sobre os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de anéis. Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetiva (ou seja, tem inversa) e preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que para quaisquer
:
Além disso,
deve mapear o elemento neutro da adição e multiplicação de
para si mesmo.
Passo 3
Como
é definido como
, qualquer elemento de
pode ser escrito como
com
. Para descobrir como
age sobre
, vamos considerar o que acontece quando aplicamos
a
.
Passo 4
Sabemos que
deve preservar a estrutura de
. Então, aplicando
a
, temos:
onde
. Nosso objetivo é determinar os valores possíveis de
e
.
Passo 5
Vamos usar o fato de que
satisfaz a equação
. Aplicando
em ambos os lados, temos:
Por outro lado, usando a propriedade do isomorfismo:
Assim, temos:
Para que essa igualdade seja válida em
, os coeficientes de
e
devem ser iguais dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes, temos:
Da segunda equação,
, vemos que ou
ou
.
Passo 7
Se
, então da primeira equação:
Então,
.
Se
, da primeira equação:
Mas não existe
tal que
, porque
é irracional. Portanto, essa possibilidade não é válida.
Resposta
Portanto,
ou
.