Seja dada por para todo . Mostre que é um homomorfismo de anéis, mas não é um isomorfismo.
Passo 1
Vamos entender a questão: Precisamos mostrar que a função , definida por , é um homomorfismo de anéis, mas não um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de anéis, como homomorfismos e isomorfismos, além das propriedades das operações em e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todos f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) :
Vamos verificar se satisfaz essas condições.
Passo 3
Vamos verificar a preservação da adição:
f(a + b) = a + b = a + b = f(a) + f(b)
Isso mostra que preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação:
f(a cdot b) = a cdot b = a cdot b = f(a) cdot f(b)
Então, também preserva a multiplicação.
Passo 5
Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação, podemos concluir que é um homomorfismo de anéis.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é um isomorfismo. Para isso, precisamos que seja bijetora, ou seja, seja injetora e sobrejetora.
Passo 7
Primeiro, vamos checar a sobrejetividade. Para todo elemento em , que é uma classe de equivalência com , existe um inteiro tal que . Assim, é sobrejetora.
Passo 8
Agora, vamos ver a injetividade. é injetora se sempre que , então . Entretanto, em , dois números diferentes podem ter a mesma classe em se eles diferirem por um múltiplo de . Por exemplo, e , mas . Portanto, não é injetora.
Passo 9
Como não é injetora, ele não é bijetora. Logo, não é um isomorfismo de anéis.
Resposta
A função definida por é um homomorfismo de anéis porque preserva as operações de adição e multiplicação. No entanto, não é um isomorfismo, pois não é injetora.