Considere os vetores
Por que
e
devem ser linearmente dependentes?
Por que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta três vetores no plano:
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente o conceito de dependência linear. Para resolver, precisamos entender quando um conjunto de vetores é considerado linearmente dependente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos simples, isso quer dizer que eles “dependem” uns dos outros para existir no espaço.
Passo 3
Agora, observando os vetores
e
que estão no plano
, sabemos que o plano é uma dimensão 2, ou seja, podemos ter no máximo dois vetores que são lineares independentes nesse espaço. Quando tentamos adicionar um terceiro vetor, como o
, inevitavelmente ele vai depender dos anteriores.
Passo 4
Portanto, como temos três vetores em um espaço bidimensional, isso já garante que eles não podem ser todos independentes. Um deles vai ser uma combinação dos outros dois, tornando todo o conjunto linearmente dependente.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes porque em um espaço de duas dimensões, como
, qualquer conjunto com mais de dois vetores necessariamente depende uns dos outros.
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com
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:
(b)
(b)
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tal que
, prove que
.