Scja
com
Mostre que
é um anel.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que, basicamente, permite fazer adição e multiplicação de forma organizada. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das operações de adição e multiplicação nos números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois elementos desse conjunto e somarmos, o resultado ainda deve estar em
.
Se temos
e
, onde
são inteiros, então:
Como
e
são inteiros, a soma também está em
. Então, a adição é fechada nesse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se
tem um elemento neutro para a adição. O elemento neutro é aquele que, quando somado a qualquer elemento do conjunto, não muda o elemento original.
No caso, o número
serve como neutro, pois:
Portanto, existe um neutro para a adição em
.
Passo 4
Vamos agora verificar se cada elemento em
tem um inverso aditivo. Isso quer dizer que, para qualquer
, deve existir
também em
tal que:
Como
e
são inteiros, o inverso aditivo está dentro do conjunto. Assim, cada elemento tem seu inverso aditivo.
Passo 5
Agora, vamos checar a multiplicação. Primeiro, precisamos ver se a multiplicação é fechada em
.
Multiplicando
por
, temos:
Como
e
são inteiros, o produto também está em
. Então, a multiplicação é fechada nesse conjunto.
Passo 6
Precisamos também verificar se a multiplicação é associativa e distributiva em
. Como estamos trabalhando dentro dos números reais, que já têm a multiplicação associativa e distributiva, essas propriedades automaticamente se mantêm em
.
Passo 7
Por último, é importante notar que
contém o elemento neutro multiplicativo, que é
, já que:
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto,
é um anel.
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determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equaçōes das assíntotas.
Seja
e
é par
. Prove que
é um subanel de
mas não um ideal de
.
Considere os vetores
Por que e
devem ser linearmente dependentes?
Por que
Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(b)
(b)