Scja Z[raiz2]=a+b raiz2, com a, b in Z
Mostre que Z[raiz2] é um anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto Z[raiz2] = a + braiz2 mid a, b in Z. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que, basicamente, permite fazer adição e multiplicação de forma organizada. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das operações de adição e multiplicação nos números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se Z[raiz2] é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois elementos desse conjunto e somarmos, o resultado ainda deve estar em Z[raiz2].
Se temos a + braiz2 e c + draiz2, onde a, b, c, d são inteiros, então:
(a + braiz2) + (c + draiz2) = (a + c) + (b + d)raiz2
Como a + c e b + d são inteiros, a soma também está em Z[raiz2]. Então, a adição é fechada nesse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se Z[raiz2] tem um elemento neutro para a adição. O elemento neutro é aquele que, quando somado a qualquer elemento do conjunto, não muda o elemento original.
No caso, o número 0 + 0raiz2 = 0 serve como neutro, pois:
(a + braiz2) + 0 = a + braiz2
Portanto, existe um neutro para a adição em Z[raiz2].

Passo 4

Vamos agora verificar se cada elemento em Z[raiz2] tem um inverso aditivo. Isso quer dizer que, para qualquer a + braiz2, deve existir -a - braiz2 também em Z[raiz2] tal que:
(a + braiz2) + (-a - braiz2) = 0
Como -a e -b são inteiros, o inverso aditivo está dentro do conjunto. Assim, cada elemento tem seu inverso aditivo.

Passo 5

Agora, vamos checar a multiplicação. Primeiro, precisamos ver se a multiplicação é fechada em Z[raiz2].
Multiplicando (a + braiz2) por (c + draiz2), temos:
(a + braiz2)(c + draiz2) = ac + adraiz2 + bcraiz2 + bd(raiz2)^2
= ac + (ad + bc)raiz2 + 2bd
= (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2
Como ac + 2bd e ad + bc são inteiros, o produto também está em Z[raiz2]. Então, a multiplicação é fechada nesse conjunto.

Passo 6

Precisamos também verificar se a multiplicação é associativa e distributiva em Z[raiz2]. Como estamos trabalhando dentro dos números reais, que já têm a multiplicação associativa e distributiva, essas propriedades automaticamente se mantêm em Z[raiz2].

Passo 7

Por último, é importante notar que Z[raiz2] contém o elemento neutro multiplicativo, que é 1 + 0raiz2 = 1, já que:
(a + braiz2) cdot 1 = a + braiz2

Resposta

Assim, verificamos que Z[raiz2] satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto, Z[raiz2] é um anel.

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