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Mostre que é um anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto . Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que, basicamente, permite fazer adição e multiplicação de forma organizada. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das operações de adição e multiplicação nos números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois elementos desse conjunto e somarmos, o resultado ainda deve estar em .
Se temos e , onde são inteiros, então:
Como e são inteiros, a soma também está em . Então, a adição é fechada nesse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se tem um elemento neutro para a adição. O elemento neutro é aquele que, quando somado a qualquer elemento do conjunto, não muda o elemento original.
No caso, o número serve como neutro, pois:
Portanto, existe um neutro para a adição em .

Passo 4

Vamos agora verificar se cada elemento em tem um inverso aditivo. Isso quer dizer que, para qualquer , deve existir também em tal que:
Como e são inteiros, o inverso aditivo está dentro do conjunto. Assim, cada elemento tem seu inverso aditivo.

Passo 5

Agora, vamos checar a multiplicação. Primeiro, precisamos ver se a multiplicação é fechada em .
Multiplicando por , temos:
Como e são inteiros, o produto também está em . Então, a multiplicação é fechada nesse conjunto.

Passo 6

Precisamos também verificar se a multiplicação é associativa e distributiva em . Como estamos trabalhando dentro dos números reais, que já têm a multiplicação associativa e distributiva, essas propriedades automaticamente se mantêm em .

Passo 7

Por último, é importante notar que contém o elemento neutro multiplicativo, que é , já que:

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto, é um anel.

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