Seja
um anel com 1 . Se
é um ideal de
tal que
, prove que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel
com elemento identidade
.
é um ideal de
que contém o elemento
. Nosso objetivo é mostrar que, se
está em
, então
é igual a todo o anel
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos anéis e ideais.
Passo 2
Primeiro, lembramos o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é fechado para adição e para multiplicação por qualquer elemento de
. Ou seja, se
e
, então
e
.
Passo 3
Sabendo que
, vamos ver o que isso implica. Se multiplicarmos
por qualquer elemento
, teremos
. Como
é um ideal,
também deve estar em
. Portanto, todos os elementos
de
estão em
.
Passo 4
Já que todo elemento
de
está em
, isso significa que
contém todos os elementos de
. Em outras palavras,
não é apenas um subconjunto, mas é igual ao próprio anel
.
Resposta
Assim, mostramos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(b)
(b)
Considere os vetores
Por que e
devem ser linearmente dependentes?
Por que
Scja
с
. Determine
e
.
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(d) ;
(d)