Seja um anel com 1 . Se é um ideal de tal que , prove que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com elemento identidade . é um ideal de que contém o elemento . Nosso objetivo é mostrar que, se está em , então é igual a todo o anel . Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos anéis e ideais.

Passo 2

Primeiro, lembramos o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é fechado para adição e para multiplicação por qualquer elemento de . Ou seja, se e , então e .

Passo 3

Sabendo que , vamos ver o que isso implica. Se multiplicarmos por qualquer elemento , teremos . Como é um ideal, também deve estar em . Portanto, todos os elementos de estão em .

Passo 4

Já que todo elemento de está em , isso significa que contém todos os elementos de . Em outras palavras, não é apenas um subconjunto, mas é igual ao próprio anel .

Resposta

Assim, mostramos que se , então .

Exercícios relacionados

Determine a matriz de passagem da base para a base :
(b)
Considere os vetores
Por que e devem ser linearmente dependentes?
Scja с . Determine e .
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(d) ;