Encontre uma equação reduzida da hipérbole
determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equaçōes das assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! A gente vai precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles, e aprender a completar o quadrado para transformar a equação dada na forma reduzida da hipérbole. Vamos precisar identificar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação que a gente tem:
Vamos agrupar os termos de e os termos de juntos para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e . Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é -4.
  • Dividimos por 2: .
  • Elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é 4.
  • Dividimos por 2: .
  • Elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos reunir os constantes:
Adicionando 12 dos dois lados:
Finalmente, dividindo tudo por 10 para chegar na forma padrão da hipérbole:
Simplificando as frações:

Passo 5

A equação reduzida da hipérbole está na forma:
Comparando com o que temos:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 6

Vamos identificar os valores de e :

Passo 7

Para achar os vértices, lembramos que eles estão a uma distância do centro ao longo do eixo principal (que, nesse caso, é o eixo porque o termo positivo é o de ).
Então, os vértices são:
Para os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos são:

Passo 8

A excentricidade da hipérbole é dada por:

Passo 9

As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma:
são dadas por:
Substituindo os valores:
Então, as assíntotas são:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Equações das assíntotas:

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