Encontre uma equação reduzida da hipérbole
4 x^2-y^2-16 x+4 y+2=0
determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equaçōes das assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! A gente vai precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles, e aprender a completar o quadrado para transformar a equação dada na forma reduzida da hipérbole. Vamos precisar identificar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação que a gente tem:
4x^2 - y^2 - 16x + 4y + 2 = 0
Vamos agrupar os termos de 4x^2 - 16x - y^2 + 4y = -2 e os termos de juntos para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 - 4x) - (y^2 - 4y) = -2 e 4(x^2 - 4x + 4 - 4) - (y^2 - 4y + 4 - 4) = -2 . Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de 4((x - 2)^2 - 4) - ((y - 2)^2 - 4) = -2 :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é -4.
  • Dividimos por 2: .
  • Elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é 4.
  • Dividimos por 2: .
  • Elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
4(x - 2)^2 - 16 - (y - 2)^2 + 4 = -2
Agora, vamos reunir os constantes:
4(x - 2)^2 - (y - 2)^2 - 12 = -2
Adicionando 12 dos dois lados:
4(x - 2)^2 - (y - 2)^2 = 10
Finalmente, dividindo tudo por 10 para chegar na forma padrão da hipérbole:
(x - 2)^2104 - (y - 2)^210 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^22.5 - (y - 2)^210 = 1

Passo 5

A equação reduzida da hipérbole está na forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com o que temos:
(x - 2)^22.5 - (y - 2)^210 = 1
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 6

Vamos identificar os valores de a^2 = 2.5 Rightarrow a = raiz2.5 approx 1.58 e b^2 = 10 Rightarrow b = raiz10 approx 3.16 :

Passo 7

Para achar os vértices, lembramos que eles estão a uma distância (h - a, k) = (2 - 1.58, 2) approx (0.42, 2) do centro ao longo do eixo principal (que, nesse caso, é o eixo (h + a, k) = (2 + 1.58, 2) approx (3.58, 2) porque o termo positivo é o de c = raiza^2 + b^2 = raiz2.5 + 10 = raiz12.5 approx 3.54 ).
Então, os vértices são:
(h - c, k) = (2 - 3.54, 2) approx (-1.54, 2)
(h + c, k) = (2 + 3.54, 2) approx (5.54, 2)
Para os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos são:

Passo 8

A excentricidade e = ca = 3.541.58 approx 2.24 da hipérbole é dada por:

Passo 9

As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
são dadas por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores:
y = 2 pm 3.161.58(x - 2)
y = 2 pm 2(x - 2)
Então, as assíntotas são:
y = 2 + 2x - 4 Rightarrow y = 2x - 2
y = 2 - 2x + 4 Rightarrow y = -2x + 6

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
(x - 2)^22.5 - (y - 2)^210 = 1
  • Centro: y = 2x - 2
  • Vértices: y = -2x + 6 e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Equações das assíntotas:

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