Encontre uma equação reduzida da hipérbole
determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equaçōes das assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! A gente vai precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles, e aprender a completar o quadrado para transformar a equação dada na forma reduzida da hipérbole. Vamos precisar identificar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação que a gente tem:
Vamos agrupar os termos de
e os termos de
juntos para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é -4. - Dividimos por 2:
. - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é 4. - Dividimos por 2:
. - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses.
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos reunir os constantes:
Adicionando 12 dos dois lados:
Finalmente, dividindo tudo por 10 para chegar na forma padrão da hipérbole:
Simplificando as frações:
Passo 5
A equação reduzida da hipérbole está na forma:
Comparando com o que temos:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 6
Vamos identificar os valores de
e
:
Passo 7
Para achar os vértices, lembramos que eles estão a uma distância
do centro ao longo do eixo principal (que, nesse caso, é o eixo
porque o termo positivo é o de
).
Então, os vértices são:
Para os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos são:
Passo 8
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Passo 9
As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma:
são dadas por:
Substituindo os valores:
Então, as assíntotas são:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Equações das assíntotas:
Exercícios relacionados
Seja
e
é par
. Prove que
é um subanel de
mas não um ideal de
.
Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja
e tendo a reta diretriz
.
Scja
com
Mostre que é um anel.
Mostre que
Considere os vetores
Por que e
devem ser linearmente dependentes?
Por que