Determine a matriz de passagem da base U para a base V :
(b) U=(1,2,1),(2,1,2),(1,2,3), V=(1,0,1),(1,0,-1),(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, matrizes de mudança de base e como calcular essa matriz usando inversa de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as bases U = 1 & 2 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & 3 e V = 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & -1 & 1 como matrizes. A base é formada pelos vetores , e , então montamos a matriz :
Já a base é formada pelos vetores , e , então a matriz fica:

Passo 3

Para encontrar a matriz de passagem de PU to V = V^-1 cdot U para , precisamos calcular a inversa da matriz e multiplicar essa inversa pela matriz . A fórmula geral para a matriz de passagem de uma base para outra base é:
Isso nos dará a matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base , fornece as coordenadas desse vetor na base .

Passo 4

Vamos calcular a inversa de det(V) = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot (-1) - 0 cdot 1) = 1 cdot (0 + 1) - 1 cdot (0 - 1) + 1 cdot (0 - 0) = 1 + 1 + 0 = 2 . Primeiro, encontramos o determinante de para garantir que ela é invertível.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 5

Agora, calculamos a matriz inversa V^-1 = 1det(V) cdot adj(V) . Para uma matriz 3x3, usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
V^-1 = 12 0 cdot 1 - 1 cdot (-1) & -(0 cdot 1 - 1 cdot 1) & 0 cdot (-1) - 0 cdot 1 -(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) & 1 cdot 1 - 1 cdot 1 & -(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) 1 cdot 1 - 0 cdot 1 & -(1 cdot 1 - 0 cdot 1) & 1 cdot 0 - 0 cdot 1 = 12 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & -1 & 0
Calculando a adjunta de e dividindo por 2, obtemos:

Passo 6

Agora multiplicamos PU to V = V^-1 cdot U = 12 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & -1 & 0 cdot 1 & 2 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & 3 = 12 (1cdot1 + 1cdot2 + 0cdot1) & (1cdot2 + 1cdot1 + 0cdot2) & (1cdot1 + 1cdot2 + 0cdot3) (2cdot1 + 0cdot2 + 1cdot1) & (2cdot2 + 0cdot1 + 1cdot2) & (2cdot1 + 0cdot2 + 1cdot3) (1cdot1 + (-1)cdot2 + 0cdot1) & (1cdot2 + (-1)cdot1 + 0cdot2) & (1cdot1 + (-1)cdot2 + 0cdot3) por PU to V = 12 1 + 2 + 0 & 2 + 1 + 0 & 1 + 2 + 0 2 + 0 + 1 & 4 + 0 + 2 & 2 + 0 + 3 1 - 2 + 0 & 2 - 1 + 0 & 1 - 2 + 0 = 12 3 & 3 & 3 3 & 6 & 5 -1 & 1 & -1 para encontrar a matriz de passagem :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos cada elemento pela PU to V = 32 & 32 & 32 32 & 3 & 52 -12 & 12 & -12 :

Resposta

A matriz de passagem da base PU to V = 32 & 32 & 32 32 & 3 & 52 -12 & 12 & -12 para a base é:

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