Determine a matriz de passagem da base para a base :
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, matrizes de mudança de base e como calcular essa matriz usando inversa de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as bases e como matrizes. A base é formada pelos vetores , e , então montamos a matriz :
Já a base é formada pelos vetores , e , então a matriz fica:

Passo 3

Para encontrar a matriz de passagem de para , precisamos calcular a inversa da matriz e multiplicar essa inversa pela matriz . A fórmula geral para a matriz de passagem de uma base para outra base é:
Isso nos dará a matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base , fornece as coordenadas desse vetor na base .

Passo 4

Vamos calcular a inversa de . Primeiro, encontramos o determinante de para garantir que ela é invertível.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 5

Agora, calculamos a matriz inversa . Para uma matriz 3x3, usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
Calculando a adjunta de e dividindo por 2, obtemos:

Passo 6

Agora multiplicamos por para encontrar a matriz de passagem :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos cada elemento pela :

Resposta

A matriz de passagem da base para a base é:

Exercícios relacionados

Considere os vetores
Por que e devem ser linearmente dependentes?
Scja com
Mostre que é um anel.
Seja um anel com 1 . Se é um ideal de tal que , prove que .
Scja с . Determine e .