Determine a matriz de passagem da base para a base :
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, matrizes de mudança de base e como calcular essa matriz usando inversa de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as bases e como matrizes. A base é formada pelos vetores , e , então montamos a matriz :
Já a base é formada pelos vetores , e , então a matriz fica:
Passo 3
Para encontrar a matriz de passagem de PU to V = V^-1 cdot U para , precisamos calcular a inversa da matriz e multiplicar essa inversa pela matriz . A fórmula geral para a matriz de passagem de uma base para outra base é:
Isso nos dará a matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base , fornece as coordenadas desse vetor na base .
Passo 4
Vamos calcular a inversa de det(V) = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot (-1) - 0 cdot 1) = 1 cdot (0 + 1) - 1 cdot (0 - 1) + 1 cdot (0 - 0) = 1 + 1 + 0 = 2 . Primeiro, encontramos o determinante de para garantir que ela é invertível.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 5
Agora, calculamos a matriz inversa V^-1 = 1det(V) cdot adj(V) . Para uma matriz 3x3, usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante: