Determine a matriz de passagem da base para a base :
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, matrizes de mudança de base e como calcular essa matriz usando inversa de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as bases e como matrizes. A base é formada pelos vetores , e , então montamos a matriz :
Já a base é formada pelos vetores , e , então a matriz fica:
Passo 3
Para encontrar a matriz de passagem de para , precisamos calcular a inversa da matriz e multiplicar essa inversa pela matriz . A fórmula geral para a matriz de passagem de uma base para outra base é:
Isso nos dará a matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base , fornece as coordenadas desse vetor na base .
Passo 4
Vamos calcular a inversa de . Primeiro, encontramos o determinante de para garantir que ela é invertível.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 5
Agora, calculamos a matriz inversa . Para uma matriz 3x3, usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
Calculando a adjunta de e dividindo por 2, obtemos:
Passo 6
Agora multiplicamos por para encontrar a matriz de passagem :