Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(a) Os pontos A, B e C são colineares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre determinar se os pontos , e estão alinhados, ou seja, se eles são colineares. Para isso, vamos usar noções de vetores e verificar se os vetores formados entre esses pontos estão na mesma direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa colinearidade. Três pontos são colineares se eles estiverem todos na mesma linha reta. Para verificar isso, podemos analisar os vetores que conectam esses pontos e ver se um é múltiplo do outro.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (0 - 1, , 1 - 3, , -1 - (-1)) = (-1, , -2, , 0) e AC = C - A = (2 - 1, , 0 - 3, , -1 - (-1)) = (1, , -3, , 0) :

Passo 4

Agora, vamos verificar se existe um número real -1 = k cdot 1 -2 = k cdot (-3) 0 = k cdot 0 tal que . Isso significa que cada componente de deve ser igual ao respectivo componente de .

Passo 5

Resolvendo a primeira equação: -2 = (-1) cdot (-3) implies -2 = 3 nos dá .
Agora, verificamos a segunda equação com :
Isso não é verdade!

Passo 6

Como não conseguimos um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, concluímos que os vetores e não são múltiplos um do outro. Portanto, os pontos , e não estão alinhados.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

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