Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular:
a) (u-3 v) cdot u
b) (u+v) cdot(v-4 u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas vetores, u e v, com as normas (comprimentos) |u| = 2 e |v| = 3. Além disso, o produto interno (dot product) entre eles é u cdot v = -1. Vamos usar esses dados para calcular:
a) (u - 3v) cdot u
b) (u + v) cdot (v - 4u)
Para resolver isso, vamos lembrar que o produto interno é distributivo e pode ser calculado usando as normas dos vetores e o produto interno dado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Queremos calcular (u - 3v) cdot u.
Primeiro, vamos usar a propriedade distributiva do produto interno, que nos permite distribuir o produto sobre a soma ou subtração de vetores:
(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c
Aplicando isso ao nosso caso:
(u - 3v) cdot u = u cdot u - 3v cdot u

Passo 3

Agora, precisamos calcular cada parte separadamente.
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua norma:
u cdot u = |u|^2 = 2^2 = 4
E já temos que u cdot v = -1. Como o produto interno é comutativo ( a cdot b = b cdot a), então:
v cdot u = -1
Portanto:
-3v cdot u = -3 times (-1) = 3

Passo 4

Agora, somamos os resultados obtidos:
u cdot u - 3v cdot u = 4 + 3 = 7

Resposta

a) (u - 3v) cdot u = 7

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