Sabendo que
e
, calcular:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas vetores,
e
, com as normas (comprimentos)
e
. Além disso, o produto interno (dot product) entre eles é
. Vamos usar esses dados para calcular:
a)
b)
Para resolver isso, vamos lembrar que o produto interno é distributivo e pode ser calculado usando as normas dos vetores e o produto interno dado.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Queremos calcular
.
Primeiro, vamos usar a propriedade distributiva do produto interno, que nos permite distribuir o produto sobre a soma ou subtração de vetores:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos calcular cada parte separadamente.
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua norma:
E já temos que
. Como o produto interno é comutativo (
), então:
Portanto:
Passo 4
Agora, somamos os resultados obtidos:
Resposta
a)
Exercícios relacionados
Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(a) Os pontos A, B e C são colineares?
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Sejam A=(0,1,-1), B=(2,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(b) Calcule o ponto médio M relativo ao maior lado deste triângulo.
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Considere os vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,3,3).
(b) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.
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Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})