Considere os vetores
a=x imath-jmath-3 k, b=imath+2 jmath+2 k, e u=Projb a,
i.e., o vetor u é a projeção ortogonal de a sobre b. Determine os possíveis valores para x, sabendo que u é unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, e , e quer encontrar o valor de sabendo que a projeção de em , chamada , é um vetor unitário (ou seja, tem comprimento igual a 1). Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor em outro. A projeção de Projb a = ( a cdot bb cdot b ) b em é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que dá o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar a = x imath - jmath - 3 k, b = imath + 2 jmath + 2 k . Dado que:
a cdot b = (x)(1) + (-1)(2) + (-3)(2) = x - 2 - 6 = x - 8
O produto escalar é:

Passo 4

Agora, vamos calcular b cdot b = (1)^2 + (2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 :
u = ( x - 89 ) b = ( x - 89 ) (imath + 2 jmath + 2 k)
Então, a projeção fica:

Passo 5

Como |u| = | x - 89 | cdot |b| é um vetor unitário, o comprimento de |u| = | x - 89 | cdot 3 = |x - 8|3 deve ser igual a 1. O comprimento de é dado por:
Sabemos que . Então:

Passo 6

Como |x - 8|3 = 1 Rightarrow |x - 8| = 3 , temos:
Isso nos dá duas possibilidades:

Resposta

Os possíveis valores para são 5 e 11.

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