Considere os vetores
i.e., o vetor é a projeção ortogonal de sobre . Determine os possíveis valores para , sabendo que é unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, e , e quer encontrar o valor de sabendo que a projeção de em , chamada , é um vetor unitário (ou seja, tem comprimento igual a 1). Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor em outro. A projeção de em é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que dá o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Dado que:
O produto escalar é:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Então, a projeção fica:

Passo 5

Como é um vetor unitário, o comprimento de deve ser igual a 1. O comprimento de é dado por:
Sabemos que . Então:

Passo 6

Como , temos:
Isso nos dá duas possibilidades:

Resposta

Os possíveis valores para são 5 e 11.

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Efetuar