Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre combinações lineares de vetores em um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por . A gente tem uma lista de vetores e precisamos descobrir se os polinômios e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores da lista .
Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e montar um sistema de equações para verificar se existe uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores e é qualquer polinômio que pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais, por exemplo).
Então, queremos ver se existe algum e que satisfaçam:
Passo 3
Vamos começar com o polinômio . Montamos a equação:
Distribuindo e :
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações, comparando os coeficientes de cada termo:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
-3a + 5b = 11 Rightarrow 3a - 5b = -11 (mu
Agora, temos:
2a - 8b = -26 3a - 5b = -11 5a - 2b = 7
Vamos resolver pelas equações 2 e 3. Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar 6a - 10b = -22 25a - 10b = 35 :
19a = 57 Rightarrow a = 3
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Agora que temos 5(3) - 2b = 7 Rightarrow 15 - 2b = 7 Rightarrow -2b = -8 Rightarrow b = 4 , substituímos na terceira equação:
Passo 7
Com 2(3) - 8(4) = 6 - 32 = -26 Confere! e , verificamos na primeira equação:
Então, encontramos uma solução: e .
Passo 8
Agora, vamos verificar para o polinômio a cdot (2 - 3x + 5x^2) + b cdot (-8 + 5x - 2x^2) = 1 + x + x^2 . Montamos a equação:
2a - 3a x + 5a x^2 -8b + 5b x - 2b x^2 = 1 + x + x^2