Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre combinações lineares de vetores em um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por . A gente tem uma lista de vetores e precisamos descobrir se os polinômios e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores da lista .
Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e montar um sistema de equações para verificar se existe uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores e é qualquer polinômio que pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais, por exemplo).
Então, queremos ver se existe algum e que satisfaçam:
Passo 3
Vamos começar com o polinômio . Montamos a equação:
Distribuindo e :
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações, comparando os coeficientes de cada termo:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
Agora, temos:
Vamos resolver pelas equações 2 e 3. Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar :
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Agora que temos , substituímos na terceira equação:
Passo 7
Com e , verificamos na primeira equação:
Então, encontramos uma solução: e .
Passo 8
Agora, vamos verificar para o polinômio . Montamos a equação:
Distribuindo e :
Passo 9
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá outro sistema de equações:
Passo 10
Vamos resolver esse novo sistema. Da segunda equação:
E da terceira equação:
Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar :
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 11
Substituindo na terceira equação:
Passo 12
Com e , verificamos na primeira equação:
Isso mostra que não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente para .
Resposta
Apenas o polinômio é uma combinação linear dos vetores da lista . O polinômio não é uma combinação linear dos vetores de .