Sejam V=P2(F) e alpha=(f(x)=2-3 x+5 x^2, g(x)=-8+5 x-2 x^2) uma lista de vetores em V. Quais dos vetores p(x)=-26+11 x+7 x^2 e q(x)=1+x+x^2 são combinações lineares dos vetores da lista alpha ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre combinações lineares de vetores em um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por . A gente tem uma lista de vetores e precisamos descobrir se os polinômios e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores da lista .
Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e montar um sistema de equações para verificar se existe uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores a cdot f(x) + b cdot g(x) e a cdot (2 - 3x + 5x^2) + b cdot (-8 + 5x - 2x^2) = p(x) e q(x) é qualquer polinômio que pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais, por exemplo).
Então, queremos ver se existe algum e que satisfaçam:

Passo 3

Vamos começar com o polinômio a cdot (2 - 3x + 5x^2) + b cdot (-8 + 5x - 2x^2) = -26 + 11x + 7x^2 . Montamos a equação:
2a - 3a x + 5a x^2 -8b + 5b x - 2b x^2 = -26 + 11x + 7x^2
Distribuindo e :

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2a - 8b) + (-3a + 5b)x + (5a - 2b)x^2 = -26 + 11x + 7x^2
Isso nos dá um sistema de equações, comparando os coeficientes de cada termo:
2a - 8b = -26 -3a + 5b = 11 5a - 2b = 7

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
-3a + 5b = 11 Rightarrow 3a - 5b = -11 (mu
Agora, temos:
2a - 8b = -26 3a - 5b = -11 5a - 2b = 7
Vamos resolver pelas equações 2 e 3. Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar 6a - 10b = -22 25a - 10b = 35 :
19a = 57 Rightarrow a = 3
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 6

Agora que temos 5(3) - 2b = 7 Rightarrow 15 - 2b = 7 Rightarrow -2b = -8 Rightarrow b = 4 , substituímos na terceira equação:

Passo 7

Com 2(3) - 8(4) = 6 - 32 = -26 Confere! e , verificamos na primeira equação:
Então, encontramos uma solução: e .

Passo 8

Agora, vamos verificar para o polinômio a cdot (2 - 3x + 5x^2) + b cdot (-8 + 5x - 2x^2) = 1 + x + x^2 . Montamos a equação:
2a - 3a x + 5a x^2 -8b + 5b x - 2b x^2 = 1 + x + x^2
Distribuindo e :

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
(2a - 8b) + (-3a + 5b)x + (5a - 2b)x^2 = 1 + x + x^2
Isso nos dá outro sistema de equações:
2a - 8b = 1 -3a + 5b = 1 5a - 2b = 1

Passo 10

Vamos resolver esse novo sistema. Da segunda equação:
-3a + 5b = 1 Rightarrow 3a - 5b = -1
E da terceira equação:
5a - 2b = 1
Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar 6a - 10b = -2 25a - 10b = 5 :
19a = 7 Rightarrow a = 719
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 11

Substituindo 5(719) - 2b = 1 Rightarrow 3519 - 2b = 1 Rightarrow -2b = 1 - 3519 = 19 - 3519 = -1619 na terceira equação:
b = 819

Passo 12

Com 2(719) - 8(819) = 1419 - 6419 = -5019 neq 1 e , verificamos na primeira equação:
Isso mostra que não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente para .

Resposta

Apenas o polinômio é uma combinação linear dos vetores da lista . O polinômio não é uma combinação linear dos vetores de .

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