Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre combinações lineares de vetores em um espaço de polinômios de grau até 2, denotado por . A gente tem uma lista de vetores e precisamos descobrir se os polinômios e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores da lista .
Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e montar um sistema de equações para verificar se existe uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores e é qualquer polinômio que pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais, por exemplo).
Então, queremos ver se existe algum e que satisfaçam:

Passo 3

Vamos começar com o polinômio . Montamos a equação:
Distribuindo e :

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações, comparando os coeficientes de cada termo:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
Agora, temos:
Vamos resolver pelas equações 2 e 3. Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar :
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 6

Agora que temos , substituímos na terceira equação:

Passo 7

Com e , verificamos na primeira equação:
Então, encontramos uma solução: e .

Passo 8

Agora, vamos verificar para o polinômio . Montamos a equação:
Distribuindo e :

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá outro sistema de equações:

Passo 10

Vamos resolver esse novo sistema. Da segunda equação:
E da terceira equação:
Multiplicamos a segunda equação por 2 e a terceira por 5 para eliminar :
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 11

Substituindo na terceira equação:

Passo 12

Com e , verificamos na primeira equação:
Isso mostra que não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente para .

Resposta

Apenas o polinômio é uma combinação linear dos vetores da lista . O polinômio não é uma combinação linear dos vetores de .

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Considere os vetores
i.e., o vetor é a projeção ortogonal de sobre . Determine os possíveis valores para , sabendo que é unitário.
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e é simultaneamente ortogonal aos planos e .
Efetuar
Dados o plano e as as retas e abaixo. Determinar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos de intersecção das retas e com o plano .