Determinar a equação geral do plano que contém o ponto
e é simultaneamente ortogonal aos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(1,4,2) e que é perpendicular aos planos Oxz e α:
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui,
é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal.
Passo 3
Sabemos que o plano que queremos é perpendicular aos planos Oxz e α. Isso significa que o vetor normal do nosso plano deve ser perpendicular aos vetores normais desses dois planos.
O plano Oxz é o plano y = 0, cujo vetor normal é
. O vetor normal do plano α:
é
.
Passo 4
Para encontrar um vetor perpendicular a ambos os vetores
e
, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de
e
é:
Passo 5
Aplicando isso aos vetores
e
:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:
Passo 6
Agora que temos o vetor normal
, usamos a equação geral do plano passando pelo ponto A(1,4,2):
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano é: