Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(1,4,2) e é simultaneamente ortogonal aos planos Oxz e alpha: 2 x+y-4 z+6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(1,4,2) e que é perpendicular aos planos Oxz e α: . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
a x + b y + c z + d = 0
Aqui, é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal.

Passo 3

Sabemos que o plano que queremos é perpendicular aos planos Oxz e α. Isso significa que o vetor normal do nosso plano deve ser perpendicular aos vetores normais desses dois planos.
O plano Oxz é o plano y = 0, cujo vetor normal é . O vetor normal do plano α: é .

Passo 4

Para encontrar um vetor perpendicular a ambos os vetores u times v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1) e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de e é:

Passo 5

Aplicando isso aos vetores n = (1 cdot (-4) - 0 cdot 1, 0 cdot 2 - 0 cdot (-4), 0 cdot 1 - 1 cdot 2) = (-4, 0, -2) e n = (2, 0, 1) :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal 2(x - 1) + 0(y - 4) + 1(z - 2) = 0 , usamos a equação geral do plano passando pelo ponto A(1,4,2):
2x - 2 + z - 2 = 0 Rightarrow 2x + z - 4 = 0
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
2x + z - 4 = 0

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