Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e é simultaneamente ortogonal aos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(1,4,2) e que é perpendicular aos planos Oxz e α: . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui, é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal.

Passo 3

Sabemos que o plano que queremos é perpendicular aos planos Oxz e α. Isso significa que o vetor normal do nosso plano deve ser perpendicular aos vetores normais desses dois planos.
O plano Oxz é o plano y = 0, cujo vetor normal é . O vetor normal do plano α: é .

Passo 4

Para encontrar um vetor perpendicular a ambos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de e é:

Passo 5

Aplicando isso aos vetores e :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal , usamos a equação geral do plano passando pelo ponto A(1,4,2):
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

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