Dados os polinômios p(t)=1-t^2, q(t)=1+t^3, r(t)=t-t^3 e s(t)=1+t+t^2+t^3, determine as combinações lineares 5 p+q-4 r e p+9 q-4 s. O que pode afirmar sobre o conjunto p, q, r, s com base nesses cálculos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com combinações lineares de alguns polinômios. Os polinômios são:
O que a gente precisa fazer é calcular duas combinações lineares: e . Depois, com base nesses cálculos, vamos analisar o conjunto .

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira combinação linear: 5p = 5(1 - t^2) = 5 - 5t^2 .
Primeiro, substituímos os polinômios:
q = 1 + t^3
-4r = -4(t - t^3) = -4t + 4t^3
5p + q - 4r = (5 - 5t^2) + (1 + t^3) + (-4t + 4t^3)
Agora, juntamos tudo:
= 5 + 1 + (-4t) + (-5t^2) + t^3 + 4t^3
Vamos somar os termos semelhantes:
= 6 - 4t - 5t^2 + 5t^3
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda combinação linear: p = 1 - t^2 .
Substituindo os polinômios:
9q = 9(1 + t^3) = 9 + 9t^3
-4s = -4(1 + t + t^2 + t^3) = -4 -4t -4t^2 -4t^3
p + 9q - 4s = (1 - t^2) + (9 + 9t^3) + (-4 -4t -4t^2 -4t^3)
Juntando tudo:
= 1 + 9 -4 + (-4t) + (-t^2 -4t^2) + (9t^3 -4t^3)
Somando os termos semelhantes:
= 6 - 4t -5t^2 + 5t^3
Então, .

Resposta

Após calcular as combinações lineares, observamos que:
5p + q - 4r = 6 - 4t -5t^2 + 5t^3
p + 9q - 4s = 6 - 4t -5t^2 + 5t^3
Como as duas combinações resultaram no mesmo polinômio, isso indica que existe uma relação linear não trivial entre e . Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

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