Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
W=(x, y, z, t) in R^4 mid x cdot z=0 e y=t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Se for, também precisamos mostrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar passo a passo para ver se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa cumprir três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
  • (satisfaz a primeira condição).
  • porque (satisfaz a segunda condição).
Então, o vetor zero está em . Primeira condição atendida!

Passo 4

2. Verificando fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2) cdot (z1 + z2) = x1 z1 + x1 z2 + x2 z1 + x2 z2 :
Sabemos que:
  • e
  • e
Agora, somamos esses vetores:
Vamos checar as condições para este vetor:
  • (como e , essa igualdade é verdadeira)
Agora, o problema está no primeiro ponto:
Sabemos que e , mas nem sempre será zero. Isso significa que a condição pode não ser satisfeita após a soma.
Então, não é fechado para adição.

Passo 5

3. Verificando fechamento para multiplicação escalar:
Embora já tenhamos descoberto que k cdot u = (k x, k y, k z, k t) não é um subespaço devido à falha na adição, vamos completar para entender melhor.
Pegamos um vetor em e multiplicamos por um escalar :
Verificando as condições:
  • (satisfaz )
  • (como , essa igualdade também é verdadeira)
Portanto, é fechado para multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado para adição.

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Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
U=(lla & b c & d) rvert, a+b=d
Seja T: R^4 R^4 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule a dimensão da imagem de T, i.e., para dim(T(R^4)).
A=(llll 2 & 3 & -1 & 1 1 & 2 & -3 & 0 1 & 2 & -2 & 0 1 & 2 & -3 & 1 )
Considere W o subespaço de P2 gerado por 2, t, 1+t, t^2+1. Exiba uma base e dê a dimensão de W. Justifique porque os elementos em questão formam uma base.
Resolva o problema a seguir por meio do cálculo da inversa de uma matriz. Encontre a inversa dessa matriz por meio de operações elementares.
x-2 y+z & =1 2 x+y & =3 y-5 z & =4