Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto a & b c & d é um subespaço vetorial. Se for, precisamos mostrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, como presença do vetor zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém o vetor zero. O vetor zero na nossa situação é a matriz onde todos os componentes são zero:
0 + 0 = 0 (Verdadeiro)
Aqui, , , e . Vamos checar se a condição é satisfeita:
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, precisamos ver se a1 & b1 c1 & d1 e a2 & b2 c2 & d2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 e somarmos, o resultado também precisa estar em (a1 + b1) + (a2 + b2) = d1 + d2 .
Sejam duas matrizes em d1 + d2 = d1 + d2 (Verdadeiro) :
Sabemos que e .
Somando as duas matrizes:
Vamos verificar a condição :
Então, é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz em a & b c & d por qualquer número real k a & k b k c & k d , o resultado também precisa estar em k (a + b) = k d .
Pegamos uma matriz em k d = k d (Verdadeiro) :
Com .
Multiplicando por :
Agora, checamos a condição :
Então, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como a & b c & a + b = a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 1 + c 0 & 0 1 & 0 satisfaz todas as condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 0 é um subespaço vetorial.
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Sabemos que , então podemos expressar em termos de e : .
Vamos parametrizar as matrizes em :
Então, uma possível base para é:
Resposta
Sim, 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 0 é um subespaço vetorial e uma base para ele é: