Seja W=(x1, x2, x3, x4) in R^4 / x1+x2+x3+x4=0
Demonstrar que os vetores: (2,0,0,-2),(2,0,-2,0) e (8,-2,-4,-2) conformam uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um subespaço de definido pela condição . A gente precisa mostrar que os vetores , e formam uma base para esse subespaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: subespaço vetorial e base. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades de fechamento, e uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Então, vamos verificar se nossos vetores são lineares e também se eles podem gerar qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores dados pertencem a 2 + 0 + 0 + (-2) = 0 . Para isso, eles precisam satisfazer a equação 2 + 0 + (-2) + 0 = 0 .
Vamos testar cada vetor:
  1. Para 8 + (-2) + (-4) + (-2) = 0 :
    Ok, pertence a .
  2. Para :
    Também pertence a .
  3. Para :
    Pertence a .
Então, todos os vetores estão dentro de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear não-trivial deles resulta no vetor zero. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou reduzimos a matriz para ver se existe alguma dependência.
Vamos montar a matriz:
A = 2 & 2 & 8 0 & 0 & -2 0 & -2 & -4 -2 & 0 & -2
Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e verificar o posto.
Primeiro, observamos que a segunda linha tem um elemento não nulo na terceira coluna, então podemos usar essa para eliminar abaixo e acima.
Após realizar os cálculos, percebemos que não há redundância entre as colunas, o que indica que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Por último, precisamos confirmar que esses vetores geram todo o subespaço . Como é definido por uma única equação linear em , sua dimensão é . Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base para .

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes e geram todo o subespaço . Portanto, eles conformam uma base de .

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