Seja
Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um subespaço de definido pela condição . A gente precisa mostrar que os vetores , e formam uma base para esse subespaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: subespaço vetorial e base. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades de fechamento, e uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Então, vamos verificar se nossos vetores são lineares e também se eles podem gerar qualquer vetor em .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores dados pertencem a . Para isso, eles precisam satisfazer a equação .
Vamos testar cada vetor:
Para :
Ok, pertence a .
Para :
Também pertence a .
Para :
Pertence a .
Então, todos os vetores estão dentro de .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear não-trivial deles resulta no vetor zero. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou reduzimos a matriz para ver se existe alguma dependência.
Vamos montar a matriz:
Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e verificar o posto.
Primeiro, observamos que a segunda linha tem um elemento não nulo na terceira coluna, então podemos usar essa para eliminar abaixo e acima.
Após realizar os cálculos, percebemos que não há redundância entre as colunas, o que indica que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Por último, precisamos confirmar que esses vetores geram todo o subespaço . Como é definido por uma única equação linear em , sua dimensão é . Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base para .
Resposta
Os vetores , e são linearmente independentes e geram todo o subespaço . Portanto, eles conformam uma base de .