Dados os conjuntos e . Determine os subespaços vetoriais e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de matrizes e definidos por certas condições. Nosso objetivo é encontrar a interseção e a soma dos subespaços . Para isso, vamos precisar entender o que cada conjunto representa e como combinar essas informações usando conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e operações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto . Ele é definido como: Isso significa que em qualquer matriz de , o elemento na posição (1,1) é sempre 0, e o elemento na posição (1,2) é quatro vezes o elemento na posição (2,1). O elemento pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto : Aqui, em qualquer matriz de , os elementos e são sempre 0. Além disso, o elemento na posição (1,1) é o dobro do elemento na posição (2,2).

Passo 4

Para encontrar a interseção , precisamos encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em e em . Ou seja, uma matriz que satisfaz as condições de ambos os conjuntos ao mesmo tempo. Isso significa que precisamos ter: Comparando os elementos correspondentes, temos: E, de , sabemos que . Como , então .

Passo 5

Portanto, a única solução que satisfaz todas essas igualdades é a matriz nula: Isso significa que a interseção contém apenas a matriz zero.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços . Essa soma consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas somando uma matriz de com uma matriz de . Então, seja: A soma será: Onde , , e são números reais.

Passo 7

Assim, o conjunto é formado por todas as matrizes do tipo: Onde , , e podem assumir quaisquer valores reais. Isso define um subespaço vetorial que combina as condições de e .

Resposta

A interseção dos subespaços é apenas a matriz nula: E a soma dos subespaços é o conjunto de todas as matrizes:

Exercícios relacionados

Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Seja Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .
Considere subespaço vetorial de , onde O vetor ?