Dados os conjuntos U=[lla & b c & d]: a=0, b=4 c e W=[lla & b c & d]: a=2 d, b=c=0.
Determine os subespaços vetoriais U cap W e U+W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de matrizes e definidos por certas condições. Nosso objetivo é encontrar a interseção e a soma dos subespaços . Para isso, vamos precisar entender o que cada conjunto representa e como combinar essas informações usando conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e operações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto U = 0 & b c & d : b = 4c . Ele é definido como:
Isso significa que em qualquer matriz de , o elemento na posição (1,1) é sempre 0, e o elemento na posição (1,2) é quatro vezes o elemento na posição (2,1). O elemento pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto W = a & 0 0 & d : a = 2d :
Aqui, em qualquer matriz de , os elementos e são sempre 0. Além disso, o elemento na posição (1,1) é o dobro do elemento na posição (2,2).

Passo 4

Para encontrar a interseção 0 & b c & d = a & 0 0 & d , precisamos encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em 0 = a b = 0 c = 0 e em . Ou seja, uma matriz que satisfaz as condições de ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
Isso significa que precisamos ter:
Comparando os elementos correspondentes, temos:
E, de , sabemos que . Como , então .

Passo 5

Portanto, a única solução que satisfaz todas essas igualdades é a matriz nula:
0 & 0 0 & 0
Isso significa que a interseção contém apenas a matriz zero.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços M in U Rightarrow M = 0 & 4c c & d . Essa soma consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas somando uma matriz de N in W Rightarrow N = 2d' & 0 0 & d' com uma matriz de M + N = 0 + 2d' & 4c + 0 c + 0 & d + d' = 2d' & 4c c & d + d' .
Então, seja:
A soma será:
Onde , , e são números reais.

Passo 7

Assim, o conjunto 2d' & 4c c & d + d' é formado por todas as matrizes do tipo:
Onde , , e podem assumir quaisquer valores reais. Isso define um subespaço vetorial que combina as condições de e .

Resposta

A interseção dos subespaços U cap W = 0 & 0 0 & 0 é apenas a matriz nula:
U + W = 2d' & 4c c & d + d' : c, d, d' in R
E a soma dos subespaços é o conjunto de todas as matrizes:

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