Dados os conjuntos
e
.
Determine os subespaços vetoriais
e
.
Determine os subespaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de matrizes
e
definidos por certas condições. Nosso objetivo é encontrar a interseção
e a soma dos subespaços
. Para isso, vamos precisar entender o que cada conjunto representa e como combinar essas informações usando conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e operações entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Ele é definido como:
Isso significa que em qualquer matriz de
, o elemento
na posição (1,1) é sempre 0, e o elemento
na posição (1,2) é quatro vezes o elemento
na posição (2,1). O elemento
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
:
Aqui, em qualquer matriz de
, os elementos
e
são sempre 0. Além disso, o elemento
na posição (1,1) é o dobro do elemento
na posição (2,2).
Passo 4
Para encontrar a interseção
, precisamos encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em
e em
. Ou seja, uma matriz que satisfaz as condições de ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
Isso significa que precisamos ter:
Comparando os elementos correspondentes, temos:
E, de
, sabemos que
. Como
, então
.
Passo 5
Portanto, a única solução que satisfaz todas essas igualdades é a matriz nula:
Isso significa que a interseção
contém apenas a matriz zero.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços
. Essa soma consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas somando uma matriz de
com uma matriz de
.
Então, seja:
A soma
será:
Onde
,
, e
são números reais.
Passo 7
Assim, o conjunto
é formado por todas as matrizes do tipo:
Onde
,
, e
podem assumir quaisquer valores reais. Isso define um subespaço vetorial que combina as condições de
e
.
Resposta
A interseção dos subespaços
é apenas a matriz nula:
E a soma dos subespaços
é o conjunto de todas as matrizes: