Dados os conjuntos e .
Determine os subespaços vetoriais e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de matrizes e definidos por certas condições. Nosso objetivo é encontrar a interseção e a soma dos subespaços . Para isso, vamos precisar entender o que cada conjunto representa e como combinar essas informações usando conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e operações entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto . Ele é definido como:
Isso significa que em qualquer matriz de , o elemento na posição (1,1) é sempre 0, e o elemento na posição (1,2) é quatro vezes o elemento na posição (2,1). O elemento pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto :
Aqui, em qualquer matriz de , os elementos e são sempre 0. Além disso, o elemento na posição (1,1) é o dobro do elemento na posição (2,2).
Passo 4
Para encontrar a interseção , precisamos encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em e em . Ou seja, uma matriz que satisfaz as condições de ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
Isso significa que precisamos ter:
Comparando os elementos correspondentes, temos:
E, de , sabemos que . Como , então .
Passo 5
Portanto, a única solução que satisfaz todas essas igualdades é a matriz nula:
Isso significa que a interseção contém apenas a matriz zero.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços . Essa soma consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas somando uma matriz de com uma matriz de .
Então, seja:
A soma será:
Onde , , e são números reais.
Passo 7
Assim, o conjunto é formado por todas as matrizes do tipo:
Onde , , e podem assumir quaisquer valores reais. Isso define um subespaço vetorial que combina as condições de e .
Resposta
A interseção dos subespaços é apenas a matriz nula:
E a soma dos subespaços é o conjunto de todas as matrizes:
Exercícios relacionados
Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Seja
Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .
Considere subespaço vetorial de , onde
O vetor ?