Mostre que a equação
4 x^2+16 y^2+4 x+48 y+37=0
representa apenas um ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação . Essa é uma questão de geometria analítica, onde vamos analisar uma equação de segundo grau para descobrir que ela representa apenas um ponto. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão e identificar as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar os cálculos:
x^2 + 4y^2 + x + 12y + 374 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem x^2 + x = (x + 12)^2 - 14 e para os que envolvem 4(y^2 + 3y) .
Para o 4(y^2 + 3y + 94 - 94) = 4((y + 32)^2 - 94) = 4(y + 32)^2 - 9 :
Temos . Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Para o :
Temos . Primeiro, fatoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses adicionando e subtraindo :

Passo 4

Substituímos as expressões completadas de quadrado na equação original:
(x + 12)^2 - 14 + 4(y + 32)^2 - 9 + 374 = 0

Passo 5

Vamos agora somar os termos constantes:
-14 - 9 + 374 = -14 - 364 + 374 = 0
Portanto, a equação simplifica para:
(x + 12)^2 + 4(y + 32)^2 = 0

Passo 6

Sabemos que um quadrado de um número é sempre maior ou igual a zero. Então, a soma de dois quadrados só pode ser zero se ambos forem zero:
(x + 12)^2 = 0 e 4(y + 32)^2 = 0

Passo 7

Resolvendo as equações:
x + 12 = 0 Rightarrow x = -12
y + 32 = 0 Rightarrow y = -32

Resposta

A equação representa apenas o ponto .

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