Mostre que a equação
representa apenas um ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
. Essa é uma questão de geometria analítica, onde vamos analisar uma equação de segundo grau para descobrir que ela representa apenas um ponto. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão e identificar as coordenadas desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem
e para os que envolvem
.
Para o
:
Temos . Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Temos
Para o
:
Temos . Primeiro, fatoramos o 4:
Temos
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses adicionando e subtraindo
:
Passo 4
Substituímos as expressões completadas de quadrado na equação original:
Passo 5
Vamos agora somar os termos constantes:
Portanto, a equação simplifica para:
Passo 6
Sabemos que um quadrado de um número é sempre maior ou igual a zero. Então, a soma de dois quadrados só pode ser zero se ambos forem zero:
Passo 7
Resolvendo as equações:
Resposta
A equação representa apenas o ponto
.