Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é o exercício de esboçar o gráfico da função
para
. Vamos usar conceitos de gráficos de funções racionais, que envolvem curvas como hipérboles. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como identificar pontos importantes no gráfico, como assíntotas e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as assíntotas, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca. Na função
, a assíntota vertical é a linha
(o eixo y), porque quando
se aproxima de 0,
tende ao infinito. A assíntota horizontal é a linha
(o eixo x), já que conforme
fica muito grande,
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos encontrar alguns pontos para ajudar a desenhar o gráfico. Vamos escolher valores de
positivos e calcular
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Esses pontos nos mostram que, conforme
aumenta,
diminui, aproximando-se da assíntota horizontal.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico usando os pontos que calculamos e as assíntotas. Começamos no ponto (1,2), depois vai para (2,1) e depois para (4,0,5), criando uma curva que se aproxima do eixo x conforme
aumenta. A assíntota vertical
está à esquerda, mas como estamos considerando
, focamos na parte direita do gráfico.
Passo 5
Por fim, confirmamos o comportamento da função. Vemos que para
, o gráfico está sempre no primeiro quadrante, nunca toca nas assíntotas, e diminui continuamente conforme
cresce. Isso confirma que nosso esboço está correto.
Resposta
O gráfico da função
para
é uma hipérbole que se encontra no primeiro quadrante, aproximando-se das assíntotas
e
. Começa no ponto (1,2) e desce suavemente passando por (2,1) e (4,0,5), sem nunca tocar os eixos.
Exercícios relacionados
Considere
, onde
é derivável. Calcule
sabendo que de/dt
e que
, isto é,
para
.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
Esboce o gráfico de
Determine as dimensões do retângulo de área máxima cujo perímetro é
.