Determine os máximos e mínimos locais da função
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar os seus máximos e mínimos locais. Isso tá ligado ao cálculo multivariável, especificamente analisando os pontos críticos da função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar onde elas são zero e usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero. Então, resolvemos o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Da primeira equação, temos
. Substituindo isso na segunda equação:
Então,
ou
.
Para
,
.
Para
,
.
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, 0):
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto (1, 1):
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e um mínimo local em
.