Determine os máximos e mínimos locais da função g(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar os seus máximos e mínimos locais. Isso tá ligado ao cálculo multivariável, especificamente analisando os pontos críticos da função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar onde elas são zero e usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero. Então, resolvemos o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Da primeira equação, temos . Substituindo isso na segunda equação:
Então, ou .
Para , .
Para , .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, 0):
Como , esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto (1, 1):
Como e , esse ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e um mínimo local em .

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