Dada a função
, determine as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício nos dá a função
e pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. Aqui, como temos duas variáveis
e
, vamos derivar em relação a cada uma delas.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
(pela regra da cadeia).
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivamos
em relação a
:
Aqui, aplicamos novamente a regra da cadeia e multiplicamos por
mais uma vez.
Passo 5
Vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
:
De maneira similar, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando por
mais uma vez.
Passo 7
Por último, vamos encontrar a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: