Dada a função g(x, y) = e^(x y), determine as derivadas parciais de segunda ordem g_xx, g_yy e gxy.

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá a função e pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e . Vamos usar conceitos de derivadas parciais para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. Aqui, como temos duas variáveis e , vamos derivar em relação a cada uma delas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, tratamos como uma constante:
Isso porque a derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivamos em relação a :
Aqui, aplicamos novamente a regra da cadeia e multiplicamos por mais uma vez.

Passo 5

Vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é :
De maneira similar, a derivada de em relação a é .

Passo 6

Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando por mais uma vez.

Passo 7

Por último, vamos encontrar a derivada mista , que é a derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:

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