Considere z=x+i y. Encontre: Im z^3,(lmz)^3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo z = x + i y. Precisamos encontrar duas coisas:
  1. A parte imaginária de z^3, ou seja, Imz^3.
  2. O cubo do módulo de z, que representaremos como (lmz)^3.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra de números complexos, como a potenciação de números complexos e o cálculo do módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular z^3. Para elevar um número complexo a uma potência, podemos usar o método de expansão binomial. Vamos expandir (x + i y)^3 usando a fórmula do binômio de Newton.

Passo 3

A fórmula do binômio de Newton para (a + b)^3 é:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aplicando isso a z = x + i y, temos:
z^3 = (x + i y)^3 = x^3 + 3x^2(i y) + 3x(i y)^2 + (i y)^3

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. x^3 permanece igual.
  2. 3x^2(i y) = 3x^2i y
  3. 3x(i y)^2 = 3x(i^2 y^2) = 3x(-1) y^2 = -3x y^2 (porque i^2 = -1)
  4. (i y)^3 = i^3 y^3 = -i y^3 (porque i^3 = -i)

Passo 5

Agora, somando todos os termos simplificados:
z^3 = x^3 + 3x^2i y - 3x y^2 - i y^3
Podemos separar a parte real e a parte imaginária:
z^3 = (x^3 - 3x y^2) + i(3x^2 y - y^3)

Passo 6

A parte imaginária de z^3 é o coeficiente de i na expressão acima. Portanto:
Imz^3 = 3x^2 y - y^3

Passo 7

Agora, vamos calcular o cubo do módulo de z, (lmz)^3. O módulo de um número complexo z = x + i y é dado por:
|z| = raizx^2 + y^2
Então, o cubo do módulo é:
(lmz)^3 = |z|^3 = (raizx^2 + y^2)^3 = (x^2 + y^2)^32

Resposta

Imz^3 = 3x^2 y - y^3 e (lmz)^3 = (x^2 + y^2)^32

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