Considere
. Encontre:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
. Precisamos encontrar duas coisas:
- A parte imaginária de
, ou seja, . - O cubo do módulo de
, que representaremos como .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra de números complexos, como a potenciação de números complexos e o cálculo do módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para elevar um número complexo a uma potência, podemos usar o método de expansão binomial. Vamos expandir
usando a fórmula do binômio de Newton.
Passo 3
A fórmula do binômio de Newton para
é:
Aplicando isso a
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
-
permanece igual. -
-
(porque ) -
(porque )
Passo 5
Agora, somando todos os termos simplificados:
Podemos separar a parte real e a parte imaginária:
Passo 6
A parte imaginária de
é o coeficiente de
na expressão acima. Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular o cubo do módulo de
,
. O módulo de um número complexo
é dado por:
Então, o cubo do módulo é: