Resolver os sistemas abaixo indicados para as variáveis reais positivas x, y e z in R+.
6.1 lx^2 y=5^5 x y=5^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com as variáveis reais positivas x^2 y = 5^5 x y = 5^3 e . A gente vai usar um pouco de álgebra básica, tipo manipulação de equações. O sistema que temos é:
A ideia é encontrar valores para e que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação: y = 5^3x . A gente pode isolar uma das variáveis aqui para facilitar. Vamos isolar o :
Isso é só uma manipulação básica de equações, onde a gente divide ambos os lados por para deixar o sozinho.

Passo 3

Agora que temos x^2 ( 5^3x ) = 5^5 em função de , vamos substituir essa expressão na primeira equação do sistema. A primeira equação é , então substituindo temos:
Isso simplifica nossa equação para termos apenas uma variável, o que facilita encontrar o valor de .

Passo 4

Vamos simplificar a equação que ficou:
x^2 cdot 5^3x = 5^5
Aqui, podemos simplificar x cdot 5^3 = 5^5 dividido por , que dá . Então a equação fica:
Isso é só simplificar termos semelhantes.

Passo 5

Agora, vamos resolver para x cdot 5^3 = 5^5 . A gente tem:
x = 5^55^3 = 5^5-3 = 5^2 = 25
Para isolar , divide ambos os lados por :
Usamos a regra dos expoentes aqui: .

Passo 6

Agora que temos y = 5^3x = 5^325 = 12525 = 5 , vamos encontrar usando a expressão que acharamos no Passo 2:
Então, .

Resposta

A solução do sistema é e .

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