Descreva os elementos do anel quociente A / I quando: A é um anel qualquer e I=A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever os elementos do anel quociente quando é um anel qualquer e . Isso está no campo da Teoria dos Anéis, especificamente trabalhando com Anéis Quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel quociente e como os elementos são formados quando o ideal é igual ao próprio anel .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel , um ideal é um subconjunto que absorve a multiplicação pelo anel e é fechado sob adição e subtração. Agora, o anel quociente é o conjunto de todas as classes laterais de em , ou seja, conjuntos da forma onde está em .

Passo 3

No nosso caso, , o que significa que estamos tomando o ideal que é igual a todo o anel. Então, cada classe lateral seria . Mas, como já contém todos os elementos do anel, qualquer soma simplesmente resulta em novamente.

Passo 4

Isso implica que não há distinção entre diferentes classes laterais quando , já que todas elas são iguais a . Portanto, o anel quociente não tem mais “informação” para diferenciar os elementos, já que tudo está identificado com o próprio anel.

Passo 5

Então, o anel quociente acaba tendo apenas um único elemento, que é a própria classe lateral (ou seja, o zero do anel quociente). Esse anel é conhecido como o anel nulo, onde a única operação possível é esse único elemento.

Resposta

Quando é um anel qualquer e , o anel quociente consiste de apenas um único elemento. Ou seja, é o anel nulo com um único elemento.

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