Descreva os elementos do anel quociente
quando:
é um anel qualquer e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever os elementos do anel quociente
quando
é um anel qualquer e
. Isso está no campo da Teoria dos Anéis, especificamente trabalhando com Anéis Quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel quociente e como os elementos são formados quando o ideal
é igual ao próprio anel
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel
, um ideal
é um subconjunto que absorve a multiplicação pelo anel e é fechado sob adição e subtração. Agora, o anel quociente
é o conjunto de todas as classes laterais de
em
, ou seja, conjuntos da forma
onde
está em
.
Passo 3
No nosso caso,
, o que significa que estamos tomando o ideal que é igual a todo o anel. Então, cada classe lateral seria
. Mas, como
já contém todos os elementos do anel, qualquer soma
simplesmente resulta em
novamente.
Passo 4
Isso implica que não há distinção entre diferentes classes laterais quando
, já que todas elas são iguais a
. Portanto, o anel quociente
não tem mais “informação” para diferenciar os elementos, já que tudo está identificado com o próprio anel.
Passo 5
Então, o anel quociente
acaba tendo apenas um único elemento, que é a própria classe lateral
(ou seja, o zero do anel quociente). Esse anel é conhecido como o anel nulo, onde a única operação possível é esse único elemento.
Resposta
Quando
é um anel qualquer e
, o anel quociente
consiste de apenas um único elemento. Ou seja,
é o anel nulo com um único elemento.