Descreva os elementos do anel quociente A / I quando: A=Z8 e I=3 Z8;

Passo 1

Então, a gente recebeu um exercício onde precisamos descrever os elementos do anel quociente . Aqui, é o conjunto dos inteiros módulo 8, denotado por , e é o ideal gerado pelo elemento 3 em , ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e ideais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse é o conjunto dos inteiros de 0 a 7, onde a soma e a multiplicação são feitas módulo 8. Ou seja, depois de qualquer operação, se o resultado for 8 ou mais, a gente subtrai 8 até ficar no intervalo de 0 a 7.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é esse ideal 0 times 3 = 0 . Em 1 times 3 = 3 , um ideal gerado por um elemento, como 3, é o conjunto de todos os múltiplos de 3 módulo 8. Então, vamos calcular esses múltiplos:
2 times 3 = 6
3 times 3 = 9 equiv 1 (mod 8)
4 times 3 = 12 equiv 4 (mod 8)
5 times 3 = 15 equiv 7 (mod 8)
6 times 3 = 18 equiv 2 (mod 8)
7 times 3 = 21 equiv 5 (mod 8)
Perceba que os múltiplos de 3 geram todos os elementos de , mas como estamos no contexto de um ideal, o ideal é simplesmente o conjunto , que na verdade é todo o . Isso acontece porque 3 é invertível em , já que o máximo divisor comum entre 3 e 8 é 1.

Passo 4

Apesar de termos constatado que , vamos seguir adiante para formar o anel quociente . O anel quociente é o conjunto de cosets de em . Um coset é um conjunto formado por somar um elemento fixo de a cada elemento de .

Passo 5

Como , cada coset seria da forma , onde é um elemento de . Mas, como já contém todos os elementos de , qualquer coset será igual a inteiro. Ou seja, existe apenas um coset, que é itself.

Resposta

O anel quociente tem apenas um elemento, que é inteiro. Portanto, .

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