Descreva os elementos do anel quociente
quando:
e
;
Passo 1
Então, a gente recebeu um exercício onde precisamos descrever os elementos do anel quociente
. Aqui,
é o conjunto dos inteiros módulo 8, denotado por
, e
é o ideal gerado pelo elemento 3 em
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e ideais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse é o conjunto dos inteiros de 0 a 7, onde a soma e a multiplicação são feitas módulo 8. Ou seja, depois de qualquer operação, se o resultado for 8 ou mais, a gente subtrai 8 até ficar no intervalo de 0 a 7.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é esse ideal
. Em
, um ideal gerado por um elemento, como 3, é o conjunto de todos os múltiplos de 3 módulo 8. Então, vamos calcular esses múltiplos:
Perceba que os múltiplos de 3 geram todos os elementos de
, mas como estamos no contexto de um ideal, o ideal
é simplesmente o conjunto
, que na verdade é todo o
. Isso acontece porque 3 é invertível em
, já que o máximo divisor comum entre 3 e 8 é 1.
Passo 4
Apesar de termos constatado que
, vamos seguir adiante para formar o anel quociente
. O anel quociente é o conjunto de cosets de
em
. Um coset é um conjunto formado por somar um elemento fixo de
a cada elemento de
.
Passo 5
Como
, cada coset seria da forma
, onde
é um elemento de
. Mas, como
já contém todos os elementos de
, qualquer coset
será igual a
inteiro. Ou seja, existe apenas um coset, que é
itself.
Resposta
O anel quociente
tem apenas um elemento, que é
inteiro. Portanto,
.