Consideremos a base , onde e . Encontre uma base ortonormal ( ), onde é paralelo a e é combinação linear de e .
Resposta: e

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma base formada pelos vetores , e . O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si. Além disso, a gente precisa que seja paralelo a e que seja uma combinação linear de e . Para isso, vamos usar conceitos de normalização e ortogonalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos tornar um vetor unitário para obter . Isso significa que vamos dividir pelo seu comprimento (magnitude).
A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Então, calculando a magnitude de :
Agora, normalizamos :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar que seja uma combinação linear de e , e que seja ortogonal a . Isso significa que:
onde e são escalares que precisamos encontrar.
Para que seja ortogonal a , o produto interno entre eles deve ser zero:
Substituindo :
Calculando os produtos internos:
Então, temos:
Podemos escolher , então . Assim:
Agora, vamos normalizar :
Podemos simplificar os sinais:

Passo 4

Por último, precisamos encontrar que seja ortogonal tanto a quanto a . Podemos encontrar usando o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial de dois vetores ortogonais resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando :
Usando a definição do produto vetorial:
Calculando o determinante:

Resposta

A base ortonormal solicitada é:

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Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: e .
Calcule os valores de e tal que
Determine o valor dos determinantes:
a)
b)
c)
d)
Considere o triângulo de vértices e . O ponto do triângulo em que se interceptam as três medianas (segmentos ligando um vértice ao ponto médio de seu lado oposto) é chamado baricentro. Determine as coordenadas do baricentro de ;