Consideremos a base , onde e . Encontre uma base ortonormal ( ), onde é paralelo a e é combinação linear de e .
Resposta: e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma base formada pelos vetores , e . O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si. Além disso, a gente precisa que seja paralelo a e que seja uma combinação linear de e . Para isso, vamos usar conceitos de normalização e ortogonalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos tornar um vetor unitário para obter . Isso significa que vamos dividir pelo seu comprimento (magnitude).
A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Então, calculando a magnitude de :
Agora, normalizamos :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar que seja uma combinação linear de e , e que seja ortogonal a . Isso significa que:
onde e são escalares que precisamos encontrar.
Para que seja ortogonal a , o produto interno entre eles deve ser zero:
Substituindo :
Calculando os produtos internos:
Então, temos:
Podemos escolher , então . Assim:
Agora, vamos normalizar :
Podemos simplificar os sinais:
Passo 4
Por último, precisamos encontrar que seja ortogonal tanto a quanto a . Podemos encontrar usando o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial de dois vetores ortogonais resulta em um vetor perpendicular a ambos.