Consideremos a base
, onde
e
. Encontre uma base ortonormal (
), onde
é paralelo a
e
é combinação linear de
e
.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma base formada pelos vetores
,
e
. O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si. Além disso, a gente precisa que
seja paralelo a
e que
seja uma combinação linear de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de normalização e ortogonalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos tornar
um vetor unitário para obter
. Isso significa que vamos dividir
pelo seu comprimento (magnitude).
A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Então, calculando a magnitude de
:
Agora, normalizamos
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
que seja uma combinação linear de
e
, e que seja ortogonal a
. Isso significa que:
onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Para que
seja ortogonal a
, o produto interno entre eles deve ser zero:
Substituindo
:
Calculando os produtos internos:
Então, temos:
Podemos escolher
, então
. Assim:
Agora, vamos normalizar
:
Podemos simplificar os sinais:
Passo 4
Por último, precisamos encontrar
que seja ortogonal tanto a
quanto a
. Podemos encontrar
usando o produto vetorial entre
e
, já que o produto vetorial de dois vetores ortogonais resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando
:
Usando a definição do produto vetorial:
Calculando o determinante:
Resposta
A base ortonormal solicitada é: