Consideremos a base (f1, f2, f3), onde f1=(1,2,2), f2=(1,0,1) e f3=(1,1,0). Encontre uma base ortonormal ( e1, e2, e3 ), onde e1 é paralelo a f1 e e2 é combinação linear de f2 e f3.
Resposta: e1=(13, 23, 23), e2=(0, raiz22,-raiz22) e e3=(-2 raiz23, raiz26, raiz26)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma base formada pelos vetores f1 = (1,2,2), f2 = (1,0,1) e f3 = (1,1,0). O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si. Além disso, a gente precisa que e1 seja paralelo a f1 e que e2 seja uma combinação linear de f2 e f3. Para isso, vamos usar conceitos de normalização e ortogonalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos tornar f1 um vetor unitário para obter e1. Isso significa que vamos dividir f1 pelo seu comprimento (magnitude).
A fórmula para a magnitude de um vetor v = (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Então, calculando a magnitude de f1:
|f1| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Agora, normalizamos f1:
e1 = f1|f1| = (13, 23, 23)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e2 que seja uma combinação linear de f2 e f3, e que seja ortogonal a e1. Isso significa que:
e2 = af2 + bf3
onde a e b são escalares que precisamos encontrar.
Para que e2 seja ortogonal a e1, o produto interno entre eles deve ser zero:
e1 cdot e2 = 0
Substituindo e2:
e1 cdot (af2 + bf3) = a(e1 cdot f2) + b(e1 cdot f3) = 0
Calculando os produtos internos:
e1 cdot f2 = (13)(1) + (23)(0) + (23)(1) = 13 + 0 + 23 = 1
e1 cdot f3 = (13)(1) + (23)(1) + (23)(0) = 13 + 23 + 0 = 1
Então, temos:
a(1) + b(1) = 0 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow b = -a
Podemos escolher a = 1, então b = -1. Assim:
e2 = f2 - f3 = (1,0,1) - (1,1,0) = (0, -1, 1)
Agora, vamos normalizar e2:
|e2| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
e2 = 1raiz2(0, -1, 1) = (0, -1raiz2, 1raiz2)
Podemos simplificar os sinais:
e2 = (0, raiz22, -raiz22)

Passo 4

Por último, precisamos encontrar e3 que seja ortogonal tanto a e1 quanto a e2. Podemos encontrar e3 usando o produto vetorial entre e1 e e2, já que o produto vetorial de dois vetores ortogonais resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando e3:
e3 = e1 times e2
Usando a definição do produto vetorial:
e3 = i & j & k 13 & 23 & 23 0 & raiz22 & -raiz22
Calculando o determinante:
e3 = i(23 cdot (-raiz22) - 23 cdot raiz22) - j(13 cdot (-raiz22) - 23 cdot 0) + k(13 cdot raiz22 - 23 cdot 0)
= i(-raiz23 - raiz23) - j(-raiz26) + k(raiz26)
= i(-2raiz23) + j(raiz26) + k(raiz26)
= (-2raiz23, raiz26, raiz26)

Resposta

A base ortonormal solicitada é:
e1 = (13, 23, 23), e2 = (0, raiz22, -raiz22), e3 = (-2 raiz23, raiz26, raiz26)

Exercícios relacionados