Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: x=2y-4 e 4y-2x=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a posição relativa de duas retas dadas pelas equações e . Isso envolve entender se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam em um ponto específico. Para isso, vamos precisar resolver o sistema de equações para ver como as retas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a resolução. A primeira equação já está isolando x = 2y - 4 :
4y - 2x = 8
A segunda equação é:
Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos usar o método da substituição. Como já temos 4y - 2(2y - 4) = 8 em termos de 4y - 4y + 8 = 8 na primeira equação, podemos substituir esse valor na segunda equação. Assim:
0y + 8 = 8
Agora, vamos resolver passo a passo:
  1. Distribuir o 8 = 8 na expressão :
  1. Simplificar os termos:
  1. Isso resulta em:
Essa equação é sempre verdadeira, independentemente do valor de .

Passo 4

O que isso significa? Quando substituímos uma equação na outra e chegamos a uma identidade verdadeira como , isso indica que as duas equações representam a mesma reta. Ou seja, todas as soluções de uma equação satisfazem a outra também. Portanto, as retas não só se cruzam em um ponto, mas na verdade coincidem completamente.

Resposta

As duas retas são coincidentes, ou seja, elas são a mesma reta e têm infinitos pontos de interseção.

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