Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força
mover uma partícula:
(a) do ponto
para o ponto
ao longo de uma curva
é de
;
(b) do ponto
para o ponto
ao longo de uma curva
é de
.
O que você dizer sobre
? Por quê?
(a) do ponto
(b) do ponto
O que você dizer sobre
Passo 1
O exercício nos apresenta uma força
que move uma partícula de um ponto
para outro ponto
ao longo de duas curvas diferentes,
e
. O trabalho realizado pela força em cada caminho foi de
e
, respectivamente. Vamos usar conceitos de trabalho e força conservativa para analisar o que isso nos diz sobre a força
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o trabalho,
é a força aplicada, e
é um elemento infinitesimal do caminho
.
Passo 3
Uma força é chamada de conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover uma partícula entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final. Exemplos típicos de forças conservativas são a força gravitacional e a força elétrica.
Passo 4
No exercício, vemos que o trabalho realizado pela força
é diferente dependendo do caminho escolhido:
- Pelo caminho
: - Pelo caminho
:
Isso indica que o trabalho depende do caminho seguido para ir de
a
.
Passo 5
Como o trabalho realizado pela força
varia com o caminho, isso significa que a força
não é conservativa. Se fosse conservativa, os valores de trabalho seriam iguais para quaisquer caminhos entre os mesmos pontos.
Resposta
A força
é não conservativa, pois o trabalho que ela realiza depende do caminho escolhido para mover a partícula entre os pontos
e
.
Exercícios relacionados
Consideremos o campo vetorial
(definido para
.
(a) Mostre que , onde
é a circunferência centrada na origem e de raio
.
(b) Conclua que o campo não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)
(a) Mostre que
(b) Conclua que o campo
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa:
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto do ponto
para o ponto
.
(a) e
.
(b) e
.
(a)
(b)
Dados os sistemas lineares
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução: