Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto do ponto para o ponto .
(a) e .
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto do ponto para o ponto . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos verificar se o campo de força é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilita o cálculo do trabalho.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo de força dado:
Queremos saber se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja, se:
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso significa que:
Passo 5
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Passo 6
Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante. Podemos ignorar a constante para o cálculo do trabalho.
Passo 7
A função potencial é então:
Passo 8
O trabalho realizado é a diferença da função potencial entre os pontos e :
Calculando:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Temos o seguinte campo de força:
Novamente, vamos verificar se esse campo é conservativo para facilitar o cálculo do trabalho.
Passo 10
Verificando se o campo é conservativo:
Como , o campo é conservativo.
Passo 11
Encontrando a função potencial tal que:
Passo 12
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Passo 13
Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante.
Passo 14
A função potencial é então:
Passo 15
Calculando o trabalho realizado:
Calculando:
Portanto:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força na parte (b) é .