Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto do ponto P para o ponto Q.
(a) F(x, y) = tg(y) * i + x * sec^2(y) * j, P = (1, 0) e Q = (2, pi / 4).
(b) F(x, y) = 2 y^(3/2) i + 3 x raiz(y) j, P = (1, 1) e Q = (2, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto do ponto para o ponto . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos verificar se o campo de força é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilita o cálculo do trabalho.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo de força dado:
Queremos saber se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja, se:

Passo 3

Calculando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 5

Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante. Podemos ignorar a constante para o cálculo do trabalho.

Passo 7

A função potencial é então:

Passo 8

O trabalho realizado é a diferença da função potencial entre os pontos e :
Calculando:
Portanto:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Temos o seguinte campo de força:
Novamente, vamos verificar se esse campo é conservativo para facilitar o cálculo do trabalho.

Passo 10

Verificando se o campo é conservativo:
Como , o campo é conservativo.

Passo 11

Encontrando a função potencial tal que:

Passo 12

Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 13

Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante.

Passo 14

A função potencial é então:

Passo 15

Calculando o trabalho realizado:
Calculando:
Portanto:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força na parte (b) é .

Exercícios relacionados

Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força F mover uma partícula:
(a) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C1 é de 1,2 J;
(b) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C2 é de 1,4 J.
O que você dizer sobre F ? Por quê?
Consideremos o campo vetorial H(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j (definido para (x, y) in R^2 backslash(0,0)).
(a) Mostre que ointC H cdot d r=2 pi, onde C é a circunferência centrada na origem e de raio a.
(b) Conclua que o campo H não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)
Dados os sistemas lineares
I) [ccc 3 & 0 & 4 7 & 4 & 2 -1 & 1 & 2 ][l x y z ]=[l -1 -3 -1 ], I I)[ccc 7 & 6 & 9 4 & 5 & -4 -7 & -3 & 8 ][l x y z ]=[c -1 7 -19 ]
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:

método de Jacobi

A lei de Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional entre dois objetos de massas m e M é |F|=m M Gr^2 onde r é a distância entre os objetos e G é a constante gravitacinal. Supondo que o objeto com massa M esteja localizado na origem de R^3 e que o vetor posição do objeto com massa m é (x, y, z), então |(x, y, z)|. A força gravitacional nesse segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário em sua direção é (-x|(x, y, z)|, -y|(x, y, z)|, -z|(x, y, z)|). Portanto a força gravitacional agindo no objeto em (x, y, z) é:
F(x, y, z)=-m M G x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+-m M G y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+-m M G z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k
Com a ajuda de algum software, determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de massa m ao longo do segmento de reta que liga (3,4,12) a (2,2,0).