Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto do ponto P para o ponto Q.
(a) F(x, y) = tg(y) * i + x * sec^2(y) * j, P = (1, 0) e Q = (2, pi / 4).
(b) F(x, y) = 2 y^(3/2) i + 3 x raiz(y) j, P = (1, 1) e Q = (2, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto do ponto para o ponto . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos verificar se o campo de força é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilita o cálculo do trabalho.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo de força dado:
Queremos saber se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja, se:

Passo 3

Calculando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 5

Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante. Podemos ignorar a constante para o cálculo do trabalho.

Passo 7

A função potencial é então:

Passo 8

O trabalho realizado é a diferença da função potencial entre os pontos e :
Calculando:
Portanto:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Temos o seguinte campo de força:
Novamente, vamos verificar se esse campo é conservativo para facilitar o cálculo do trabalho.

Passo 10

Verificando se o campo é conservativo:
Como , o campo é conservativo.

Passo 11

Encontrando a função potencial tal que:

Passo 12

Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 13

Derivando em relação a :
Igualando com a segunda equação original:
Integrando, obtemos constante.

Passo 14

A função potencial é então:

Passo 15

Calculando o trabalho realizado:
Calculando:
Portanto:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força na parte (b) é .

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