Consideremos o conjunto A=(x, y) in R^2 ;|x-y| e a função
f(x, y)=cl tan (x-y)|x|+|y| & se x in A backslash(0,0) -1 & se (x, y)=(0,0)
Analisar a continuidade de f(x, y) no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que seja contínua em , três coisas precisam acontecer:
  1. A função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar cada um desses pontos. A função f(x, y) = tan (x - y)|x| + |y| está definida de duas formas:
  • Para f(0,0) = -1 em (exceto ):
  • Em :
Então, a função está definida em , cumprindo o primeiro requisito.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de tan(z) approx z quando z to 0 quando f(x, y) approx x - y|x| + |y| se aproxima de f(x, x) approx x - x|x| + |x| = 0 . Para isso, podemos considerar que f(x, 0) approx x|x| = sgn(x) e estão próximos de zero, então também está próximo de zero. Sabemos que:
Então, podemos aproximar:
Vamos analisar os limites ao longo de diferentes caminhos:
  • Se :
  • Se : O que dá se e se .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , isso significa que o limite de quando não existe.

Resposta

Como o limite de quando não existe, a função não é contínua no ponto .

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