Consideremos o conjunto
e a função
Analisar a continuidade de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que
seja contínua em
, três coisas precisam acontecer:
- A função está definida em
. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos verificar cada um desses pontos. A função
está definida de duas formas:
- Para
em (exceto ): - Em
:
Então, a função está definida em
, cumprindo o primeiro requisito.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, podemos considerar que
e
estão próximos de zero, então
também está próximo de zero. Sabemos que:
Então, podemos aproximar:
Vamos analisar os limites ao longo de diferentes caminhos:
- Se
: - Se
: O que dá se e se .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, isso significa que o limite de
quando
não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
não existe, a função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das seguintes funções:
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.