Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa mostrar que o limite
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em valores de limite diferentes, então podemos concluir que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde e^x+2-2 + 1 - 2x cdot 2 = e^x - 12x . Nesse caso, conforme e^x approx 1 + x + x^22 + dots se aproxima de 0, (1 + x + x^22 + dots) - 12x = x + x^22 + dots2x = 12 + x4 + dots permanece constante em 2. Vamos substituir limx to 0 e^x - 12x = 12 na expressão do limite:
Agora, vamos simplificar usando a expansão da série de Taylor para próximo de 0:
Substituindo na expressão:
Quando tende a 0, os termos com desaparecem, ficando:
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos considerar que e^0 + y - 2 + 1 - y0 cdot y = e^y - 2 + 1 - y0 e e^y-2 approx 1 + (y - 2) + (y - 2)^22 + dots se aproxima de 2. Substituindo 1 + (y - 2) + (y - 2)^22 + dots + 1 - y = (1 + 1) + (y - 2 - y) + (y - 2)^22 + dots = 2 - 2 + (y - 2)^22 + dots = (y - 2)^22 + dots na expressão do limite:
limy to 2 (y - 2)^220 = infty
Aqui, temos uma forma indeterminada quando tende a 2. Para resolver isso, vamos analisar o numerador:
Expandindo em série de Taylor em torno de , temos:
Substituindo no numerador:
Portanto, o numerador é aproximadamente e o denominador é 0. Assim:
Então, pelo caminho , o limite tende a infinito.

Resposta

Como obtemos limites diferentes ( lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y e ) ao nos aproximarmos de por caminhos distintos, podemos concluir que o limite
não existe.

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