Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em valores de limite diferentes, então podemos concluir que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho onde
. Nesse caso, conforme
se aproxima de 0,
permanece constante em 2. Vamos substituir
na expressão do limite:
Agora, vamos simplificar
usando a expansão da série de Taylor para
próximo de 0:
Substituindo na expressão:
Quando
tende a 0, os termos com
desaparecem, ficando:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos considerar que
e
se aproxima de 2. Substituindo
na expressão do limite:
Aqui, temos uma forma indeterminada
quando
tende a 2. Para resolver isso, vamos analisar o numerador:
Expandindo
em série de Taylor em torno de
, temos:
Substituindo no numerador:
Portanto, o numerador é aproximadamente
e o denominador é 0. Assim:
Então, pelo caminho
, o limite tende a infinito.
Resposta
Como obtemos limites diferentes (
e
) ao nos aproximarmos de
por caminhos distintos, podemos concluir que o limite
não existe.