Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,3) (3 x^2-5 x-2) sen(2 y-6)(y-3)(2 x^2-3 x-2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos que encontrar o limite da função
lim (x, y) (2,3) (3 x^2-5 x-2) sen(2 y-6)(y-3)(2 x^2-3 x-2)
Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades de limites, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro do limite. A gente tem uma fração onde o numerador é e o denominador é (3x^2 - 5x - 2) cdot sen(2y - 6). Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando a parte trigonométrica da função. Note que quando (x, y) se aproxima de (2, 3), a expressão 2y - 6 se aproxima de 0 porque y está se aproximando de 3:
2y - 6 = 2(y - 3)
Sabemos que:
Então, podemos escrever:
quando limt to 0 sen(t)t = 1 .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a parte algébrica da expressão:
3x^2 - 5x - 22x^2 - 3x - 2
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador ( 3x^2 - 5x - 2):
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 cdot (-2) = -6 e que somados dão -5.
Esses números são -6 e 1.
Então:
3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x - 2) + 1(x - 2) = (3x + 1)(x - 2)
Fatorando o denominador ( 2x^2 - 3x - 2):
Procuramos dois números que multiplicados dão 2 cdot (-2) = -4 e que somados dão -3.
Esses números são -4 e 1.
Então:
2x^2 - 3x - 2 = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x(x - 2) + 1(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)

Passo 5

Agora que fatoramos, podemos simplificar a fração:
3x^2 - 5x - 22x^2 - 3x - 2 = (3x + 1)(x - 2)(2x + 1)(x - 2)
Observamos que o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador e pode ser cancelado (desde que x neq 2, o que é válido para limites):
(3x + 1)cancel(x - 2)(2x + 1)cancel(x - 2) = 3x + 12x + 1

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo que simplificamos:
Como não há mais dependência de lim (x, y) (2,3) (3x^2 - 5x - 2)sen(2y - 6)(y - 3)(2x^2 - 3x - 2) = lim (x, y) (2,3) ( 3x + 12x + 1 cdot 2 ) na expressão, podemos calcular o limite para y:
x to 2

Resposta

O limite é 145.

Exercícios relacionados

Consideremos o conjunto A=(x, y) in R^2 ;|x-y| e a função
f(x, y)=cl tan (x-y)|x|+|y| & se x in A backslash(0,0) -1 & se (x, y)=(0,0)
Analisar a continuidade de f(x, y) no ponto (0,0).
Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,4) (x-1)^5(y+2) cos (1(x-1)^2(y-4)^6).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4 y+4 x^2 y^3-y^5x^4+y^4+2 x^2 y^2.