Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos que encontrar o limite da função
Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades de limites, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro do limite. A gente tem uma fração onde o numerador é e o denominador é
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 3
Vamos começar simplificando a parte trigonométrica da função. Note que quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
porque
está se aproximando de
:
Sabemos que:
Então, podemos escrever:
quando
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a parte algébrica da expressão:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador (
):
Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
.
Esses números são
e
.
Então:
Fatorando o denominador (
):
Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
.
Esses números são
e
.
Então:
Passo 5
Agora que fatoramos, podemos simplificar a fração:
Observamos que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador e pode ser cancelado (desde que
, o que é válido para limites):
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo que simplificamos:
Como não há mais dependência de
na expressão, podemos calcular o limite para
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Consideremos o conjunto
e a função
Analisar a continuidade de
no ponto
.
Discuta a continuidade das seguintes funções:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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