Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e propriedades da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olhando para
, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0, então
também vai para 0.
No denominador, temos
. Quando
se aproxima de 4,
se aproxima de 6, que é uma constante.
Agora, o mais interessante está dentro do cosseno:
. Conforme
se aproxima de 1 e
se aproxima de 4, o denominador
tende a 0, o que faz com que toda a fração dentro do cosseno cresça sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que a função cosseno tem a propriedade de oscilar entre -1 e 1 para qualquer entrada real. Mesmo que o argumento do cosseno (
) esteja indo para o infinito, o valor de
continuará sempre entre -1 e 1.
Passo 4
Então, juntando tudo: a parte
está indo para 0 e a parte
está oscilando entre -1 e 1. Quando multiplicamos algo que está indo para 0 por algo que está limitado, o resultado tende a 0.
Resposta
O limite é igual a 0.
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Consideremos o conjunto
e a função
Analisar a continuidade de
no ponto
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