Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,4) (x-1)^5(y+2) cos (1(x-1)^2(y-4)^6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite da função
lim (x, y) (1,4) (x-1)^5(y+2) cos (1(x-1)^2(y-4)^6)
quando o ponto se aproxima de . Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e propriedades da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olhando para , quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, então também vai para 0.
No denominador, temos . Quando se aproxima de 4, se aproxima de 6, que é uma constante.
Agora, o mais interessante está dentro do cosseno: . Conforme se aproxima de 1 e se aproxima de 4, o denominador tende a 0, o que faz com que toda a fração dentro do cosseno cresça sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que a função cosseno tem a propriedade de oscilar entre -1 e 1 para qualquer entrada real. Mesmo que o argumento do cosseno ( ) esteja indo para o infinito, o valor de continuará sempre entre -1 e 1.

Passo 4

Então, juntando tudo: a parte está indo para 0 e a parte está oscilando entre -1 e 1. Quando multiplicamos algo que está indo para 0 por algo que está limitado, o resultado tende a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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