Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir a continuidade da função , que está definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos que não são , e outra especificamente no ponto . Vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como verificar se essa função está contínua em todos os pontos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade em todos os pontos, mas o ponto mais crítico é .

Passo 3

Vamos analisar a função fora do ponto . Para , a função é dada por:
Essa expressão envolve operações básicas como multiplicação, divisão e raiz quadrada, que são contínuas onde est��o definidas. Como , o denominador nunca é zero, então é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, vamos focar no ponto . A função está definida como . Para verificar a continuidade aí, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a zero.

Passo 5

Uma boa maneira de calcular o limite é mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, a função fica:
Agora, ao fazer , o termo também vai para zero, porque está multiplicando os outros fatores que são limitados.

Passo 6

Como o limite de quando é zero, e , concluímos que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, incluindo o ponto .

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