Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir a continuidade da função , que está definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos que não são , e outra especificamente no ponto . Vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como verificar se essa função está contínua em todos os pontos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade em todos os pontos, mas o ponto mais crítico é .

Passo 3

Vamos analisar a função fora do ponto . Para , a função é dada por:
Essa expressão envolve operações básicas como multiplicação, divisão e raiz quadrada, que são contínuas onde est��o definidas. Como , o denominador nunca é zero, então é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, vamos focar no ponto . A função está definida como . Para verificar a continuidade aí, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a zero.

Passo 5

Uma boa maneira de calcular o limite é mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, a função fica:
Agora, ao fazer , o termo também vai para zero, porque está multiplicando os outros fatores que são limitados.

Passo 6

Como o limite de quando é zero, e , concluímos que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, incluindo o ponto .

Exercícios relacionados

Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2.
Consideremos o conjunto A=(x, y) in R^2 ;|x-y| e a função
f(x, y)=cl tan (x-y)|x|+|y| & se x in A backslash(0,0) -1 & se (x, y)=(0,0)
Analisar a continuidade de f(x, y) no ponto (0,0).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,3) (3 x^2-5 x-2) sen(2 y-6)(y-3)(2 x^2-3 x-2).