Discuta a continuidade das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir a continuidade da função
, que está definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos
que não são
, e outra especificamente no ponto
. Vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como verificar se essa função está contínua em todos os pontos, especialmente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade em todos os pontos, mas o ponto mais crítico é
.
Passo 3
Vamos analisar a função
fora do ponto
. Para
, a função é dada por:
Essa expressão envolve operações básicas como multiplicação, divisão e raiz quadrada, que são contínuas onde est��o definidas. Como
, o denominador nunca é zero, então
é contínua em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, vamos focar no ponto
. A função está definida como
. Para verificar a continuidade aí, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a zero.
Passo 5
Uma boa maneira de calcular o limite é mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, a função fica:
Agora, ao fazer
, o termo
também vai para zero, porque
está multiplicando os outros fatores que são limitados.
Passo 6
Como o limite de
quando
é zero, e
, concluímos que a função é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, incluindo o ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Consideremos o conjunto
e a função
Analisar a continuidade de
no ponto
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.