Consideremos
um domínio e
. Se
são distintos entre si e
para todos
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios e seus graus. Temos dois polinômios,
e
, ambos de grau
, e queremos provar que se eles têm os mesmos valores em
pontos distintos dentro de um domínio
, então eles são iguais. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios, grau de um polinômio e o Teorema Fundamental da Álgebra que nos ajuda a saber quantas raízes um polinômio pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a diferença entre os dois polinômios: seja
. Como
e
são polinômios de grau
, a diferença
também será um polinômio, e seu grau não será maior que
.
Passo 3
Sabemos que
para cada
de
a
. Isso significa que para cada
, temos:
Ou seja,
tem
raízes distintas:
.
Passo 4
Agora, lembremos do Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz que um polinômio de grau
pode ter, no máximo,
raízes (soluções) distintas. Mas nosso polinômio
tem
raízes, o que só é possível se
for o polinômio nulo, ou seja,
para todo
no domínio
.
Passo 5
Se
, isso significa que:
Portanto, os dois polinômios são iguais em todo o domínio
.
Resposta
Assim, mostramos que
se eles concordam em
pontos distintos e ambos são de grau
.