Consideremos D um domínio e f(x), g(x) in D[x], com partial f(x)=partial g(x)=n. Se alpha0, alpha1, cdots, alphan in D são distintos entre si e f(alphai)=g(alphai) para todos i in0,1, cdots, n, então f(x)=g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios e seus graus. Temos dois polinômios, e , ambos de grau , e queremos provar que se eles têm os mesmos valores em pontos distintos dentro de um domínio , então eles são iguais. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios, grau de um polinômio e o Teorema Fundamental da Álgebra que nos ajuda a saber quantas raízes um polinômio pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a diferença entre os dois polinômios: seja . Como e são polinômios de grau , a diferença também será um polinômio, e seu grau não será maior que .

Passo 3

Sabemos que h(alphai) = f(alphai) - g(alphai) = 0 para cada de a . Isso significa que para cada , temos:
Ou seja, tem raízes distintas: .

Passo 4

Agora, lembremos do Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz que um polinômio de grau pode ter, no máximo, raízes (soluções) distintas. Mas nosso polinômio tem raízes, o que só é possível se for o polinômio nulo, ou seja, para todo no domínio .

Passo 5

Se f(x) - g(x) = 0 implies f(x) = g(x) , isso significa que:
Portanto, os dois polinômios são iguais em todo o domínio .

Resposta

Assim, mostramos que se eles concordam em pontos distintos e ambos são de grau .

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