Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse tipo de problema está relacionado aos limites em cálculo, especificamente quando substituímos diretamente o valor e acabamos com uma expressão indeterminada como
. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Esse resultado
é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador
. Podemos notar que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão original usando a fatoração que fizemos:
Podemos simplificar
com
no denominador. Mas, para isso, vamos considerar que
está se aproximando de 3, então
é positivo próximo a 3.
Passo 5
Simplificando a fração:
Agora, vemos que à medida que
se aproxima de 3,
tende a 0, mas a expressão inteira ainda está em uma forma indeterminada. Então, vamos usar uma abordagem diferente.
Passo 6
Vamos aplicar uma substituição para facilitar. Seja
, então quando
se aproxima de 3,
se aproxima de 0. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Expandindo
:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do limite:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de
e
se aproxima de 0, o que sugere que o limite tende ao infinito.
Resposta
O limite
tende ao infinito.