lim x 3 raizx^3-27x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse tipo de problema está relacionado aos limites em cálculo, especificamente quando substituímos diretamente o valor e acabamos com uma expressão indeterminada como . Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3^3 - 273 - 3 = raiz27 - 270 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) . Podemos notar que raizx^3 - 27 = raiz(x - 3)(x^2 + 3x + 9) é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão original usando a fatoração que fizemos:
raiz(x - 3)(x^2 + 3x + 9)x - 3 = raizx - 3 cdot raizx^2 + 3x + 9x - 3
Podemos simplificar com no denominador. Mas, para isso, vamos considerar que está se aproximando de 3, então é positivo próximo a 3.

Passo 5

Simplificando a fração:
raizx - 3 cdot raizx^2 + 3x + 9x - 3 = raizx^2 + 3x + 9raizx - 3
Agora, vemos que à medida que se aproxima de 3, tende a 0, mas a expressão inteira ainda está em uma forma indeterminada. Então, vamos usar uma abordagem diferente.

Passo 6

Vamos aplicar uma substituição para facilitar. Seja limh 0 raiz(3 + h)^3 - 27h , então quando (3 + h)^3 = 27 + 27h + 9h^2 + h^3 se aproxima de 3, raiz27 + 27h + 9h^2 + h^3 - 27 = raiz27h + 9h^2 + h^3 = raizh(27 + 9h + h^2) = raizh cdot raiz27 + 9h + h^2 se aproxima de 0. Reescrevendo a expressão em termos de :
Expandindo :
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do limite:
limh 0 raizh cdot raiz27 + 9h + h^2h = limh 0 raiz27 + 9h + h^2raizh
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de e se aproxima de 0, o que sugere que o limite tende ao infinito.

Resposta

O limite tende ao infinito.

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