Seja
um anel comutativo com unidade. Considere
tal que
. Mostre que
é invertível em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre álgebra, mais especificamente sobre anéis comutativos com unidade. A gente tem um elemento
no anel
que satisfaz
. Precisamos mostrar que o polinômio
é invertível no anel de polinômios
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de anéis e propriedades de inversibilidade de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser invertível em
. Um polinômio
é invertível se existe outro polinômio
em
tal que
. Nosso objetivo é encontrar esse polinômio
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso é uma informação chave porque vai simplificar bastante os cálculos. Vamos tentar encontrar
assumindo que ele tem a forma
, onde
é um elemento de
que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicando
por
, temos:
Queremos que esse produto seja igual a 1, ou seja:
Passo 5
Para que a igualdade acima seja válida, os coeficientes dos termos com
e
devem ser zero. Então, temos as equações:
Passo 6
Da primeira equação
, podemos resolver para
:
Agora, substituímos
na segunda equação
:
E isso confirma que
, que já sabemos ser verdade.
Passo 7
Então, encontramos que
é o inverso de
. Vamos verificar multiplicando novamente:
Resposta
O polinômio
é invertível em
, e seu inverso é
.