Seja A um anel comutativo com unidade. Considere a in A tal que a^2 = 0. Mostre que f(x) = 1 + a x in A[x] é invertível em A[x].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre álgebra, mais especificamente sobre anéis comutativos com unidade. A gente tem um elemento no anel que satisfaz . Precisamos mostrar que o polinômio é invertível no anel de polinômios . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de anéis e propriedades de inversibilidade de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser invertível em . Um polinômio é invertível se existe outro polinômio em tal que . Nosso objetivo é encontrar esse polinômio .

Passo 3

Sabemos que . Isso é uma informação chave porque vai simplificar bastante os cálculos. Vamos tentar encontrar assumindo que ele tem a forma , onde é um elemento de que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicando por , temos:
Queremos que esse produto seja igual a 1, ou seja:

Passo 5

Para que a igualdade acima seja válida, os coeficientes dos termos com e devem ser zero. Então, temos as equações:

Passo 6

Da primeira equação , podemos resolver para :
Agora, substituímos na segunda equação :
E isso confirma que , que já sabemos ser verdade.

Passo 7

Então, encontramos que é o inverso de . Vamos verificar multiplicando novamente:

Resposta

O polinômio é invertível em , e seu inverso é .

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