Consideremos D um domínio e f(x) in D[x], com partial f(x)=<= n. Se alpha0, alpha1, cdots, alphan in D são distintos entre si e existe beta in D tal que f(alphai)=beta para todos i in0,1, cdots, n, então f(x)=beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios em um domínio . Temos um polinômio de grau no máximo . Nos dão valores distintos onde o polinômio sempre dá o mesmo resultado . A pergunta é mostrar que, se isso acontece, então tem que ser a constante . Para resolver, vamos precisar entender sobre raízes de polinômios e o que acontece quando um polinômio tem mais raízes do que seu grau.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a diferença entre o polinômio g(x) = f(x) - beta e a constante . Vamos definir um novo polinômio:
Esse polinômio também está em e tem o mesmo grau que (como é constante, o grau não muda).

Passo 3

Sabemos que para cada g(alphai) = f(alphai) - beta = beta - beta = 0 dado, . Então, substituindo na definição de :
Isso significa que cada é uma raiz de , ou seja, .

Passo 4

Temos raízes distintas para o polinômio . Mas lembrando que o grau de é no máximo . Aqui entra o Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz que um polinômio de grau pode ter no máximo raízes distintas, a menos que ele seja o polinômio nulo (ou seja, todos os coeficientes são zero).

Passo 5

Como g(x) = 0 forall x in D tem f(x) - beta = 0 implies f(x) = beta raízes distintas, que é mais do que o grau máximo , a única possibilidade é que seja o polinômio nulo. Portanto:
Substituindo de volta na definição de :

Resposta

Portanto, .

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