Consideremos
um domínio e
, com
. Se
são distintos entre si e existe
tal que
para todos
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios em um domínio
. Temos um polinômio
de grau no máximo
. Nos dão
valores distintos
onde o polinômio
sempre dá o mesmo resultado
. A pergunta é mostrar que, se isso acontece, então
tem que ser a constante
. Para resolver, vamos precisar entender sobre raízes de polinômios e o que acontece quando um polinômio tem mais raízes do que seu grau.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a diferença entre o polinômio
e a constante
. Vamos definir um novo polinômio:
Esse polinômio
também está em
e tem o mesmo grau que
(como
é constante, o grau não muda).
Passo 3
Sabemos que para cada
dado,
. Então, substituindo na definição de
:
Isso significa que cada
é uma raiz de
, ou seja,
.
Passo 4
Temos
raízes distintas
para o polinômio
. Mas lembrando que o grau de
é no máximo
. Aqui entra o Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz que um polinômio de grau
pode ter no máximo
raízes distintas, a menos que ele seja o polinômio nulo (ou seja, todos os coeficientes são zero).
Passo 5
Como
tem
raízes distintas, que é mais do que o grau máximo
, a única possibilidade é que
seja o polinômio nulo. Portanto:
Substituindo de volta na definição de
:
Resposta
Portanto,
.