Mostre que o domínio Z[x] não é domínio de ideais principais. Para provar esse fato, mostre que o ideal I = <2, x> não pode ser gerado por um ideal principal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente quer mostrar que o conjunto Z[x], que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros, não é um domínio de ideais principais. Para isso, vamos focar no ideal e provar que ele não pode ser gerado por apenas um elemento.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um ideal principal. Um ideal é principal se ele pode ser gerado por um único elemento. Ou seja, se existe algum polinômio f(x) in Z[x] tal que , onde representa todos os múltiplos de f(x).

Passo 3

Vamos assumir, para chegar a uma contradição, que o ideal é principal. Então, existe um polinômio f(x) tal que . Isso significa que tanto quanto x são múltiplos de f(x), ou seja, podemos escrever e para alguns .

Passo 4

Agora, vamos analisar o que isso implica. Como , isso significa que f(x) divide no anel Z[x]. Os únicos divisores de em Z[x] são as unidades multiplicadas por ou vezes . Ou seja, f(x) deve ser uma constante, especificamente ou .

Passo 5

Vamos ver cada caso:
  1. Se : Então, seria todo o anel Z[x], porque qualquer elemento multiplicado por está no ideal. Mas não é todo o anel, então isso é impossível.
  2. Se : Então, . Isso implica que x é múltiplo de , ou seja, . Mas não existe um polinômio que satisfaça essa igualdade, já que o lado esquerdo é um polinômio de grau 1 e o lado direito é um múltiplo de (grau igual ou maior dependendo de h(x)).

Passo 6

Como em ambos os casos chegamos a contradições, nossa suposição de que I é principal está errada. Portanto, o ideal não pode ser gerado por um único elemento.

Resposta

Concluímos que o ideal não é principal em Z[x], o que mostra que Z[x] não é um domínio de ideais principais.

Exercícios relacionados