Mostre que o domínio
não é domínio de ideais principais. Para provar esse fato, mostre que o ideal
não pode ser gerado por um ideal principal.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente quer mostrar que o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros, não é um domínio de ideais principais. Para isso, vamos focar no ideal
e provar que ele não pode ser gerado por apenas um elemento.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um ideal principal. Um ideal é principal se ele pode ser gerado por um único elemento. Ou seja, se existe algum polinômio
tal que
, onde
representa todos os múltiplos de
.
Passo 3
Vamos assumir, para chegar a uma contradição, que o ideal
é principal. Então, existe um polinômio
tal que
. Isso significa que tanto
quanto
são múltiplos de
, ou seja, podemos escrever
e
para alguns
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que isso implica. Como
, isso significa que
divide
no anel
. Os únicos divisores de
em
são as unidades multiplicadas por
ou
vezes
. Ou seja,
deve ser uma constante, especificamente
ou
.
Passo 5
Vamos ver cada caso:
-
Se
: Então, seria todo o anel , porque qualquer elemento multiplicado por está no ideal. Mas não é todo o anel, então isso é impossível. -
Se
: Então, . Isso implica que é múltiplo de , ou seja, . Mas não existe um polinômio que satisfaça essa igualdade, já que o lado esquerdo é um polinômio de grau 1 e o lado direito é um múltiplo de (grau igual ou maior dependendo de ).
Passo 6
Como em ambos os casos chegamos a contradições, nossa suposição de que
é principal está errada. Portanto, o ideal
não pode ser gerado por um único elemento.
Resposta
Concluímos que o ideal
não é principal em
, o que mostra que
não é um domínio de ideais principais.